第三種電気主任技術者の過去問
令和5年度（2023年）上期
理論 問19

コンデンサの電界に関する計算問題です。

電界は電圧をV[V]、極板間距離をd[m]とすると、E = V/d[V/m]で表されます。

極板間距離はすでに分かっているので、各コンデンサにかかる電圧が求まると、電界が求まります。

誘電率がそれぞれ異なる誘電体が縦に並んでいるとき、それぞれの誘電体を持つコンデンサを直列接続することと等価になります。

誘電率が2ε₀の誘電体をもつコンデンサをC₁、3ε₀の誘電体をもつコンデンサをC₂、6ε₀の誘電体をもつコンデンサをC₃とすると、静電容量の公式C = εS/d[F]より、

C₁ = 2ε₀S / (d/6) = 12ε₀S / d

C₂ = 3ε₀S / (d/3) = 9ε₀S / d = 3C₁ / 4

C₃ = 6ε₀S / (d/2) = 12ε₀S / d = C₁

ここで、各コンデンサにかかる電圧は、静電容量に逆比例します。C₁、C₂、C₃にかかる電圧をそれぞれV₁、V₂、V₃とすると、

V₁=(1/C₁)V / (1/C₁+1/C₂+1/C₃) 

　= (1/C₁)V / (1/C₁+4/3C₁+1/C₁) 

　= 3V / (3+4+3)

　= 3V/10

V₂=(1/C₂)V / (1/C₁+1/C₂+1/C₃)

　= (4/3C₁)V / (1/C₁+4/3C₁+1/C₁) 

　= 4V / (3+4+3) 

　= 4V/10

V₃=(1/C₃)V / (1/C₁+1/C₂+1/C₃) 

　= (1/C₁)V / (1/C₁+4/3C₁+1/C₁) 

　= 3V / (3+4+3) 

　= 3V/10

これらより、電界は

E_A1 = (3V/10) / (d/6) = 9V/5d

E_A2 = (4V/10) / (d/3) = 6V/5d

E_A3 = (3V/10) / (d/2) = 3V/5d

E_A1＞E_A2＞E_A3となり、最大値はE_A1の9V/5dとなります。

電束密度D、電界E_A1 、E_A2 、E_A3 とすると下記のとおりです。

E_A1 ＝D/2ε₀

E_A2 ＝D/3ε₀ 

E_A3 ＝D/6ε₀

よって、E_A1＞E_A2＞E_A3となります。

次に、電圧Ｖは下記のとおりです。

Ｖ＝E_A1*d/6+E_A2*d/3+E_A3*d/2・・・①

ここで、

E_A2 ＝2//3 E_A1

E_A3 ＝1/3E_A1

を①に代入して、整理します。

すると、

E_A1＝9V/5d

と求めることができます。