第三種電気主任技術者（電験三種） 過去問
令和5年度（2023年）上期
問19 (理論 問19)

コンデンサの電界に関する計算問題です。

電界は電圧をV[V]、極板間距離をd[m]とすると、E = V/d[V/m]で表されます。

極板間距離はすでに分かっているので、各コンデンサにかかる電圧が求まると、電界が求まります。

誘電率がそれぞれ異なる誘電体が縦に並んでいるとき、それぞれの誘電体を持つコンデンサを直列接続することと等価になります。

誘電率が2ε₀の誘電体をもつコンデンサをC₁、3ε₀の誘電体をもつコンデンサをC₂、6ε₀の誘電体をもつコンデンサをC₃とすると、静電容量の公式C = εS/d[F]より、

C₁ = 2ε₀S / (d/6) = 12ε₀S / d

C₂ = 3ε₀S / (d/3) = 9ε₀S / d = 3C₁ / 4

C₃ = 6ε₀S / (d/2) = 12ε₀S / d = C₁

ここで、各コンデンサにかかる電圧は、静電容量に逆比例します。C₁、C₂、C₃にかかる電圧をそれぞれV₁、V₂、V₃とすると、

V₁=(1/C₁)V / (1/C₁+1/C₂+1/C₃) 

　= (1/C₁)V / (1/C₁+4/3C₁+1/C₁) 

　= 3V / (3+4+3)

　= 3V/10

V₂=(1/C₂)V / (1/C₁+1/C₂+1/C₃)

　= (4/3C₁)V / (1/C₁+4/3C₁+1/C₁) 

　= 4V / (3+4+3) 

　= 4V/10

V₃=(1/C₃)V / (1/C₁+1/C₂+1/C₃) 

　= (1/C₁)V / (1/C₁+4/3C₁+1/C₁) 

　= 3V / (3+4+3) 

　= 3V/10

これらより、電界は

E_A1 = (3V/10) / (d/6) = 9V/5d

E_A2 = (4V/10) / (d/3) = 6V/5d

E_A3 = (3V/10) / (d/2) = 3V/5d

E_A1＞E_A2＞E_A3となり、最大値はE_A1の9V/5dとなります。

電束密度D、電界E_A1 、E_A2 、E_A3 とすると下記のとおりです。

E_A1 ＝D/2ε₀

E_A2 ＝D/3ε₀ 

E_A3 ＝D/6ε₀

よって、E_A1＞E_A2＞E_A3となります。

次に、電圧Ｖは下記のとおりです。

Ｖ＝E_A1*d/6+E_A2*d/3+E_A3*d/2・・・①

ここで、

E_A2 ＝2//3 E_A1

E_A3 ＝1/3E_A1

を①に代入して、整理します。

すると、

E_A1＝9V/5d

と求めることができます。

平行板コンデンサに関する計算問題となります。

問題で問われているのは、コンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその時の強さの最大値を求める形となります。

なのでまずは電界の強さの大小関係から求めていきます。公式は以下となります。

・E＝V/ｄ[V/ｍ]‥①

※E：電界の強さ、V：電圧[V]、ｄ：極板間距離[ｍ]

改めてコンデンサAを整理すると誘電率と極板間の距離がそれぞれ違う3つのコンデンサが直列に接続されています。断面積は同一となっています。

この問題を解くにあたって関係する式を以下に記します。

・V＝Eｄ[V]‥②※①式の変形となります。

・Q＝CV[C]‥③

・C＝εS/ｄ[F]‥④

上記②式を③式に代入します。

・Q＝CEｄ[C]‥③´

さらに④式を上記式に代入します。

・Q＝εS/ｄ×Eｄ＝εSE[C]‥③´´

上記式を電界の強さEについて解くと次のようになります。

・E＝Q/εS[V/m]‥⑤

これらの結果からも電界の強さは断面積と誘電率に反比例していることが分かります。

またコンデンサAは誘電体は3種類とも異なりますが断面積は同一なので今回は誘電率のみを考慮すれば良いです。

改めて各極板間の誘電体を見ていきます。

・E_A1＝2ε₀、E_A2＝3ε₀、E_A3＝6ε₀

ここで⑤式の結果より、電界の強さは誘電率に反比例しているので、誘電率の一番少ないE_A1が一番強いと言えます。大きい順に並べると次のようになります。

・E_A1＞E_A2＞E_A3

続いて電界の強さの最大値を求めていきます。公式②を用いて3種類にかかる極板間の電圧を表します。

・V_A1＝Eｄ＝E_A1×(ｄ/6)＝E_A1ｄ/6

ここで一番電界が強いE_A1の誘電体にE_A2、E_A3を換算します。

E_A1を基準とすると以下の関係性が表せます。

・E_A2/E_A1＝3ε₀/2ε₀＝1.5(E_A2の誘電体はE_A1の1.5倍)

・E_A3/E_A1＝6ε₀/2ε₀＝3.0(E_A2の誘電体はE_A1の3倍)

なのでE_A1に換算する際は誘電体に反比例した率をE_A2、E_A3にかけます。

・V_A2＝Eｄ＝(ｄ/3)×(2E_A1/3)＝E_A12ｄ/9

・V_A3＝Eｄ＝(ｄ/2)×(E_A1/3)＝E_A1ｄ/6

ここで全体の電源電圧V[V]を求めます。

・V＝V_A1+V_A2+V_A3[V]

・V＝E_A1×{(ｄ/6)+(2ｄ/9)+(ｄ/6)}

・V=E_A1×(10ｄ/18)

上記式をE_A1について解くと次のようになります。

・E_A1＝18V/10ｄ＝9V/5ｄ

以上となります。