第三種電気主任技術者の過去問
令和5年度（2023年）上期
理論 問20

平行板コンデンサＡ、Ｂそれぞれの蓄積エネルギー(静電エネルギー)を求めて

比較する計算問題となります。

問題文よりコンデンサＡ、Ｂの特徴は次のようになります。

【コンデンサＡ】‥比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。

【コンデンサＢ】‥比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。

以上のようになります。

この問題のポイントは、

コンデンサＡは3種類の誘電体が直列接続。

コンデンサＢは3種類の誘電体が並列接続となっている所であり、

それによって静電容量の値が変化する所です。

最終的に比較する材料となる静電エネルギーを求める公式は以下となります。

・静電エネルギーＷ[Ｊ]＝1/2×Ｑ×Ｖ＝1/2×Ｃ×Ｖ²＝Ｑ²/2×Ｃ

　Ｑ：電荷[Ｃ]、Ｃ：静電容量[Ｆ]、Ｖ：電圧[Ｖ]

よって問題を解く手順として、

まずはそれぞれのコンデンサの合成静電容量を求める必要があり、

静電容量を求める公式は次のようになります。

・静電容量Ｃ[Ｆ]＝εＳ/ｄ

　ε：誘電率[Ｆ/ｍ]、Ｓ：極板の面積[㎡]、ｄ：極板間距離[ｍ]

まずはコンデンサＡの情報を整理していきます。

静電容量は上からＣ_Ａ1、Ｃ_Ａ2、Ｃ_Ａ3、と置き、

誘電率は2ε₀、3ε₀、6ε₀、

極板間距離はｄ/6、ｄ/3、ｄ/2となります。

以上より各静電容量は以下となります。

・Ｃ_Ａ1＝2ε₀Ｓ/ｄ/6＝12ε₀Ｓ/ｄ[Ｆ]

・Ｃ_Ａ2＝3ε₀Ｓ/ｄ/3＝9ε₀Ｓ/ｄ[Ｆ]

・Ｃ_Ａ3＝6ε₀Ｓ/ｄ/2＝12ε₀Ｓ/ｄ[Ｆ]

これらを元にコンデンサＡの合成静電容量を求めていきます。

コンデンサＡは、

直列接続になるので静電容量の逆数の和の逆数が合成静電容量となります。

合成静電容量をＣ_Ａと置きます。

・Ｃ_Ａ＝1/（1/12ε₀Ｓ/ｄ+1/9ε₀Ｓ/ｄ+12ε₀Ｓ/ｄ）＝1/10ｄ/36ε₀Ｓ＝36ε₀Ｓ/10ｄ

　　　＝18ε₀Ｓ/5ｄ[Ｆ]

次にコンデンサＢの情報を整理していきます。

静電容量は左からＣ_Ｂ1、Ｃ_Ｂ2、Ｃ_Ｂ3、と置き、

誘電率は2ε₀、3ε₀、6ε₀、

極板の面積はＳ/6、Ｓ/3、Ｓ/2となります。

以上より各静電容量は以下となります。

・Ｃ_Ｂ1＝2ε₀Ｓ/6/ｄ＝ε₀Ｓ/3ｄ[Ｆ]‥(1/3)

・Ｃ_Ｂ2＝3ε₀Ｓ/3/ｄ＝ε₀Ｓ/ｄ[Ｆ]‥(1)

・Ｃ_Ｂ3＝6ε₀Ｓ/2/ｄ＝3ε₀Ｓ/ｄ[Ｆ]‥(3)

これらを元にコンデンサＢの合成静電容量を求めていきます。

コンデンサＢは並列接続になるので静電容量の総和が合成静電容量となります。

合成静電容量をＣ_Ｂと置きます。

・Ｃ_Ｂ＝ε₀Ｓ/ｄ×(1/3+1+3)＝13ε₀Ｓ/3ｄ[Ｆ]

コンデンサＡ、Ｂの静電エネルギを上記の公式を用いて求めていきます。

・Ｗ_Ａ＝1/2×Ｃ_Ａ×Ｖ²＝1/2×18ε₀Ｓ/5ｄ×Ｖ²[Ｊ]

・Ｗ_Ｂ＝1/2×Ｃ_Ｂ×Ｖ²＝1/2×13ε₀Ｓ/3ｄ×Ｖ²[Ｊ]

上記式より、コンデンサの値以外は共通なので、

静電エネルギー値を比較する際は合成静電容量だけを考慮する事ができます。

よってコンデンサＢに対するコンデンサＡのエネルギー比は以下となります。

・Ｗ_Ａ/Ｗ_Ｂ＝(18ε₀Ｓ/5ｄ)/(13ε₀Ｓ/3ｄ)＝54/65≒0.83

以上のようになります。

コンデンサの静電エネルギーに関する計算問題です。

前問と同様に、それぞれの誘電体をもつコンデンサの合成静電容量を計算し、静電エネルギーの公式W=CV²/2[J]を適用します。

コンデンサAのそれぞれの静電容量

C_A1、C_A2、C_A3は前問より

C_A1 = 12ε₀S/d

C_A2 = 9ε₀S/d

C_A3 = 12ε₀S/d

コンデンサBのそれぞれの静電容量

C_B1、C_B2、C_B3は、静電容量の公式より

C_B1 = (2ε₀×S/6)/d = ε₀S/3d

C_B2 = (3ε₀×S/3)/d = ε₀S/d

C_B3 = (6ε₀×S/2)/d = 3ε₀S/d

コンデンサAの静電容量は、

C_A1、C_A2、C_A3が直列接続されているので、

C_A = 1 / (1/C_A1+1/C_A2+1/C_A3) 

　= 1 / (1/C_A1+4/3C_A1+1/C_A1) 

　= 3C_A1 / (3+4+3) 

　= 3C_A1 /10 

　= 18ε₀S/5d

コンデンサBの静電容量は、

C_B1、C_B2、C_B3が並列接続されているので、

C_B = C_B1+C_B2+C_B 

 = (1/3+1+3)ε₀S/d 

　= 13ε₀S/3d

コンデンサに蓄えられる静電エネルギーは公式より

W_A = C_AV² / 2 = 9(ε₀S/d)² / 5

W_B = C_BV² / 2 = 13(ε₀S/d)² / 6

エネルギー比は W_A/W_B = (9/5) / (13/6) = 0.83077→0.83となります。

コンデンサAの静電容量C_A1、C_A2、C_A3とすると、下記のとおりです。

C_A1 = 12ε₀S/d

C_A2 = 9ε₀S/d

C_A3 = 12ε₀S/d

合成静電容量 C_A は直列接続されているので、下記のとおりになります。

C_A ＝1/(1/C_A1 +1/C_A2 +1/C_A3 )

 　 ＝18ε₀S/5d

続いて、コンデンサBの静電容量C_B1、C_B2、C_B3とすると、下記のとおりです。

C_B1 =  ε₀S/3d

C_B2 =  ε₀S/d

C_B3 =  3ε₀S/d

合成静電容量 C_B は並列接続されているので、下記のとおりになります。

C_B ＝C_B1 + C_B２ + C_B３

_＝    13ε₀S/3d

コンデンサに蓄えられる静電エネルギーW_A 、W_Bとすると下記のとおりになります。

W_A /W_B = C_A/C_B

            =18/5/13/3=0.83