大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問69 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8)
問題文
以下（ タチ ）・（ ツ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域をDとする。さらに、rを正の実数とし、不等式x2＋y2≦r2の表す領域をEとする。
直線l2が点（−13，0）を通る場合を考える。このとき、k＝（ コ ）／（ サ ）である。さらに、DがEに含まれるようなrの値の範囲は
r≧（ シス ）
である。
次に、r＝（ シス ）の場合を考える。このとき、DがEに含まれるようなkの値の範囲は
k≧（ セ ）／（ ソ ）またはk＜（ タチ ）／（ ツ ）
である。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域をDとする。さらに、rを正の実数とし、不等式x2＋y2≦r2の表す領域をEとする。
直線l2が点（−13，0）を通る場合を考える。このとき、k＝（ コ ）／（ サ ）である。さらに、DがEに含まれるようなrの値の範囲は
r≧（ シス ）
である。
次に、r＝（ シス ）の場合を考える。このとき、DがEに含まれるようなkの値の範囲は
k≧（ セ ）／（ ソ ）またはk＜（ タチ ）／（ ツ ）
である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問69（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ タチ ）・（ ツ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域をDとする。さらに、rを正の実数とし、不等式x2＋y2≦r2の表す領域をEとする。
直線l2が点（−13，0）を通る場合を考える。このとき、k＝（ コ ）／（ サ ）である。さらに、DがEに含まれるようなrの値の範囲は
r≧（ シス ）
である。
次に、r＝（ シス ）の場合を考える。このとき、DがEに含まれるようなkの値の範囲は
k≧（ セ ）／（ ソ ）またはk＜（ タチ ）／（ ツ ）
である。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域をDとする。さらに、rを正の実数とし、不等式x2＋y2≦r2の表す領域をEとする。
直線l2が点（−13，0）を通る場合を考える。このとき、k＝（ コ ）／（ サ ）である。さらに、DがEに含まれるようなrの値の範囲は
r≧（ シス ）
である。
次に、r＝（ シス ）の場合を考える。このとき、DがEに含まれるようなkの値の範囲は
k≧（ セ ）／（ ソ ）またはk＜（ タチ ）／（ ツ ）
である。
- タチ：−1 ツ：2
- タチ：−2 ツ：3
- タチ：−3 ツ：2
- タチ：−4 ツ：3
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この過去問の解説 （1件）
01
前問同様に考えます。
下の図を見てください。（r=13）
上図は直線l2が(13,0)を通っています。
直線l2の式kx-y-5k+12=0に(x,y)=(13,0)を代入すると
このとき、k=-3/2であることが分かります。
直線l2は点(5,12)を軸として、kの値によって直線の傾きが変わります。
k=-3/2のとき、半径13の円とちょうど(13,0)で交わります。
もしkの値がk≧-3/2となると、直線の傾きは上図よりも浅くなり、直線l2は円外でx軸との交点をもつことになります。
これでは領域Dが領域Eに含まれているとは言えません。
直線l2が円内でx軸と交点をもつためにはk≦-3/2でなくてはなりません。
ここで、一点注意してください。上図には直線は1本しかかかれていませんが、直線l1と直線l2が重なっています。
k=-3/2のとき、直線l1と直線l2がピッタリと重なり、三角形はできません。
正しいkの条件はk<-3/2です。
したがって、k<-3/2（タチ：-3、ツ：2）となります。
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
前問同様に考えますが、不等号に注意してください。
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