大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）本試験
問15 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問5)

PはO(0,0)からA(6,0)へx軸上を速度1で移動し停止するので0≤t≤6です。
QはC(0,6)からy軸上を下方向に速度2でOへ、そこから再び上方向にCへ移動するので0≤t≤6です。

PはO(0,0)からA(6,0)へx軸上を速度1で移動するので時刻tでの点Pの座標P(t)は
P(t)=(t,0)(0≤t≤6)

QはC(0,6)からy軸上を下方向に速度2でOへ、そこから再び上方向にCへ移動します。
つまり時刻tでの点Qの座標Q(t)は
Q(t)=(0,6−2t)(0≤t≤3)
Q(t)=(0,2t−6)(3<t≤6)

三角形の頂点を P、B、Q、点Qの座標をQ_yとします。

PB→=B−P=(4−t,6)(0≤t≤6)
PQ→=B−Q=(−t,Qy)

2次元空間でベクトル (a,b)と (c,d)の平行四辺形の面積は|ad−bc|で求められ、対角線で２分された三角形の面積はその半分です。
時刻tにおける三角形PBQの面積をS(t)とすると
S(t)
=(1/2)*|(4-t)(Q_y)+6t|

(i)0≤t≤3
この時Q_y=6−2tです。
S(t)
=(1/2)*|(4-t)(6−2t)+6t|
=(1/2)*|2t²−8t+24|

ここで0≤t≤3で2t²−8t+24>0なので、
S(t)
=t²−4t+12
=(t-2)²+8

S(t)は下に凸のtに関する二次関数であり、t=2が極値となるためt=0で最大値12をとります。

(ii)3<t≤6
この時Q_y=2t-6です。
S(t)
=(1/2)*|(4-t)(2t-6)+6t|
=(1/2)*|-2t²+20t-24|

ここで3<t≤6で-2t²+20t-24>0なので、
S(t)
=-t²+10t-12
=-(t-5)²+13

S(t)上に凸のtに関する二次関数のため、t=5で最小値13をとります。

(i)(ii)よりS(t)の最小値は13です。