大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問25 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問11)

解答　ツ：「(m(8−m)(a−b)²)／64」

端的な解説(上級者向けの解法)

m=4のとき、「調整後の評点」はaとbが4個ずつとなり、

平均値は(a+b)/2、偏差の2乗は全て(a-b)²/4となるため、

分散は(a-b)²/4となります。

8個の選択肢のうち、m=4を代入して(a-b)²/4となる選択肢は

1つしかないので、それが答えになります。

詳細な解説(推奨する方法)

分散は定義通りに計算する方法のほか、

「2乗の平均値」から「平均値の2乗」を引くことでも求められます。

「調整後の評点」がm個のaと(8−m)個のbのとき、

各評点の「2乗の平均値」は

(ma²+(8−m)b²)／8　…①

となります。

また問題文にある通り平均値は(ma+(8−m)b)／8ですから、

「平均値の2乗」は

(ma+(8−m)b)²／64

すなわち

(m²a²+2m(8−m)ab+(64−16m+m²)b²))／64　…②

となります。

①から②を引きます。

(ma²+(8−m)b²)／8　−　(m²a²+2m(8−m)ab+(64−16m+m²)b²))／64

=(8ma²+(64−8m)b² − m²a²−2m(8−m)ab−(64−16m+m²)b²)／64　(通分)

=((8m− m²)a²−2m(8−m)ab+(64−8m−64+16m−m²)b²)／64

=((8m− m²)a²−2m(8−m)ab+(8m−m²)b²)／64

=(m(8−m)a²−2m(8−m)ab+m(8−m)b²)／64

=m(8−m)(a²−2ab+b²)／64　　(m(8−m)でくくる)

=m(8−m)(a−b)²／64

よって答えは「m(8−m)(a−b)²／64」となります。

補足

今回の問題設定ではa<bですが、

もしa=bであれば全ての評点が等しくなるため、t²=0になるはずです。

このことから、分子に(a−b)²がある選択肢が適切だと見当をつけられます。