大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問26 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問12)

解答　テ：う

解説

(i)で求めたツの答えを利用して考えます。

「元の評点」は問題文より、

あ　1,4,4,4,4,5,5,5,5,5

い　1,3,3,4,4,4,4,4,4,5

う　1,2,2,2,2,4,4,4,4,4

え　1,1,1,1,1,1,1,3,3,4

です。

「調整後の評点」は、「元の評点」の両端を除外して

あ　4,4,4,4,5,5,5,5　つまり　m=4,(a−b)²=1

い　3,3,4,4,4,4,4,4　つまり　m=2,(a−b)²=1

う　2,2,2,2,4,4,4,4　つまり　m=4,(a−b)²=4

え　1,1,1,1,1,1,3,3　つまり　m=6,(a−b)²=4

となります。

ツ：「(m(8−m)(a−b)²)／64」でした。

つまり、t²=(m(8−m)(a−b)²)／64です。

これに代入して計算すると、

あ　t²=(16・1)／64=16／64

い　t²=(12・1)／64=12／64

う　t²=(16・4)／64=64／64　

え　t²=(12・4)／64=48／64

となります（比較しやすいように約分していません）。

この中で最もt²の値が大きいのは「う」です。

よって答えは「テ：う」となります。

補足

以下はツの解説です(前問より引用)。

分散は定義通りに計算する方法のほか、

「2乗の平均値」から「平均値の2乗」を引くことでも求められます。

 

「調整後の評点」がm個のaと(8−m)個のbのとき、

各評点の「2乗の平均値」は

(ma²+(8−m)b²)／8　…①

となります。

 

また問題文にある通り平均値は(ma+(8−m)b)／8ですから、

「平均値の2乗」は

(ma+(8−m)b)²／64

すなわち

(m²a²+2m(8−m)ab+(64−16m+m²)b²))／64　…②

となります。

 

①から②を引きます。

(ma²+(8−m)b²)／8　−　(m²a²+2m(8−m)ab+(64−16m+m²)b²))／64

=(8ma²+(64−8m)b² − m²a²−2m(8−m)ab−(64−16m+m²)b²)／64　(通分)

=((8m− m²)a²−2m(8−m)ab+(64−8m−64+16m−m²)b²)／64

=((8m− m²)a²−2m(8−m)ab+(8m−m²)b²)／64

=(m(8−m)a²−2m(8−m)ab+m(8−m)b²)／64

=m(8−m)(a²−2ab+b²)／64　　(m(8−m)でくくる)

=m(8−m)(a−b)²／64

 

よって答えは「m(8−m)(a−b)²／64」となります。