大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問34 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問8)
問題文
1辺の長さが1である正方形のタイルが6枚ある。これらのタイルを1枚ずつ互いに重ならないように、1辺の長さが4である正方形の壁に貼っていくことを考える。ただし、新しく貼るタイルは、その左側と下側が壁の縁やすでに貼られているタイルとの間に隙間ができないように、詰めて貼られるものとする。また、新しく貼るタイルの位置の候補が全部でn箇所あるとき、そのうちのどの位置についてもタイルを貼る確率は1／nであるものとする。
このとき、1枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる。また、2枚目のタイルを貼る位置の候補は、1枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の2箇所となる。同様に考えると、4枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は、図1のようになる。ただし、図1における矢印はタイルの配置の推移を表している。なお、3枚目から4枚目の間の矢印は省略している。
以下、タイルの配置を、単に配置という。
（3）4枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
（ⅰ）4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEとなるとき、3枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は、図1のB、C、Dのうち（ ケ ）である。したがって、4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEとなる確率は（ コ ）／（ サシ ）である。
4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のFとなるとき、3枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は、図1のB、C、Dのうち（ ス ）である。したがって、4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のFとなる確率は（ セ ）／（ ソ ）である。
（ⅱ）4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEであったとき、2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のAである条件付き確率は（ タ ）／（ チ ）である。
（ タ ）、（ チ ）にあてはまるものを1つ選べ。
このとき、1枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる。また、2枚目のタイルを貼る位置の候補は、1枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の2箇所となる。同様に考えると、4枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は、図1のようになる。ただし、図1における矢印はタイルの配置の推移を表している。なお、3枚目から4枚目の間の矢印は省略している。
以下、タイルの配置を、単に配置という。
（3）4枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
（ⅰ）4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEとなるとき、3枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は、図1のB、C、Dのうち（ ケ ）である。したがって、4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEとなる確率は（ コ ）／（ サシ ）である。
4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のFとなるとき、3枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は、図1のB、C、Dのうち（ ス ）である。したがって、4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のFとなる確率は（ セ ）／（ ソ ）である。
（ⅱ）4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEであったとき、2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のAである条件付き確率は（ タ ）／（ チ ）である。
（ タ ）、（ チ ）にあてはまるものを1つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問34（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
1辺の長さが1である正方形のタイルが6枚ある。これらのタイルを1枚ずつ互いに重ならないように、1辺の長さが4である正方形の壁に貼っていくことを考える。ただし、新しく貼るタイルは、その左側と下側が壁の縁やすでに貼られているタイルとの間に隙間ができないように、詰めて貼られるものとする。また、新しく貼るタイルの位置の候補が全部でn箇所あるとき、そのうちのどの位置についてもタイルを貼る確率は1／nであるものとする。
このとき、1枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる。また、2枚目のタイルを貼る位置の候補は、1枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の2箇所となる。同様に考えると、4枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は、図1のようになる。ただし、図1における矢印はタイルの配置の推移を表している。なお、3枚目から4枚目の間の矢印は省略している。
以下、タイルの配置を、単に配置という。
（3）4枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
（ⅰ）4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEとなるとき、3枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は、図1のB、C、Dのうち（ ケ ）である。したがって、4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEとなる確率は（ コ ）／（ サシ ）である。
4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のFとなるとき、3枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は、図1のB、C、Dのうち（ ス ）である。したがって、4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のFとなる確率は（ セ ）／（ ソ ）である。
（ⅱ）4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEであったとき、2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のAである条件付き確率は（ タ ）／（ チ ）である。
（ タ ）、（ チ ）にあてはまるものを1つ選べ。
このとき、1枚目のタイルは壁の左下の隅に貼られることになる。また、2枚目のタイルを貼る位置の候補は、1枚目のタイルのすぐ右かすぐ上の2箇所となる。同様に考えると、4枚目のタイルを貼るまでのタイルの配置は、図1のようになる。ただし、図1における矢印はタイルの配置の推移を表している。なお、3枚目から4枚目の間の矢印は省略している。
以下、タイルの配置を、単に配置という。
（3）4枚目のタイルを貼った時点での配置を考える。
（ⅰ）4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEとなるとき、3枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は、図1のB、C、Dのうち（ ケ ）である。したがって、4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEとなる確率は（ コ ）／（ サシ ）である。
4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のFとなるとき、3枚目のタイルを貼った時点でのあり得る配置は、図1のB、C、Dのうち（ ス ）である。したがって、4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のFとなる確率は（ セ ）／（ ソ ）である。
（ⅱ）4枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のEであったとき、2枚目のタイルを貼った時点での配置が図1のAである条件付き確率は（ タ ）／（ チ ）である。
（ タ ）、（ チ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- タ：1 チ：3
- タ：3 チ：5
- タ：5 チ：7
- タ：7 チ：9
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （1件）
01
解答 タ：5 チ：7
解説
以下では、
・○を経由する確率をP(○)
・△を経由したという条件のもとで☆を経由する条件付き確率をP△(☆)
・▲を経由してかつ★を経由する確率をP(▲∩★)
と書くことにします。
また、2枚目を貼った時点でのAでない方をA'と呼ぶことにします。
この問題で求めたいのはPE(A)です。
これを求めるにはP(A∩E)とP(E)の値が必要です。
P(A∩E)の計算にはP(A)とPA(E)が必要です。
まず、
P(A)=1／2
と
PA(E)
=PA(B)PB(E)+PA(C)PC(E)
=(1／2)・(1／2)+(1／2)・(1／3)
=(1／4)+(1／6)
=(3／12)+(2／12)
=5／12
より、
P(A∩E)=P(A)PA(E)=(1／2)・(5／12)=5／24 …①
です。
また、P(A'∩E)についてもP(A∩E)と同様に考えて、
P(A')=1／2
PA'(E)=PA'(C)PC(E)=(1／2)・(1／3)=1／6
P(A'∩E)=P(A')PA'(E)=(1／2)・(1／6)=1／12 …②
①②より、P(E)=P(A∩E)+P(A'∩E)=7／24 …③
となります。
（上記の流れがPE(A)を求めるための正攻法ですが、
今回はP(E)をすでに前問で別の手順を使って求めているので、
②を計算する必要はありません）
①③より、
PE(A)
=P(E∩A)/P(E) (←条件付き確率の公式)
=P(A∩E)/P(E)
=(5／24)/(7／24)
=5／7
よって答えは「タ：5 チ：7」となります。
この選択肢が答えとなります。
条件付き確率P後(先)を求めるには、P(先∩後)とP(後)の値が必要です。
その計算過程ではP(先)やP先(後)が必要になります。
P(先)→P先(後)→P(先∩後)→P(後)→P後(先)の順に計算していきましょう。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問33）へ
令和6年度（2024年度）追・試験 問題一覧
次の問題（問35）へ