大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問35 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問9)

解答　ツ：5　テト：27

解説

以下では、

・○を経由する確率をP(○)

・△を経由したという条件のもとで☆を経由する条件付き確率をP_△(☆)

・▲を経由してかつ★を経由する確率をP(▲∩★)

と書くことにします。また、

・2枚目を貼った時点でのAでない方の配置をA'

・4枚目を貼った時点での図1のFの１つ下の配置をE'

・図2の配置をX

と呼ぶことにします。

この問題で求めたいのはP(X)です。

Xの状態になるにはE、E'、Fのいずれかを経由する必要があります。

3通りに場合分けして考えます。

(i)Eを経由する場合

前問で

P(E)=7／24

と求めました。また、4枚目から6枚目までの流れを考えると、

P_E(X)=(1／3)・(1／3)+(1／3)・(1／3)=2／9

と分かります。よって

P(E∩X)=P(E)P_E(X)=（7／24)・(2／9)=7／108

となります。

(ii)E'を経由する場合

(i)と同様に考えて　P(E'∩X)=7／108　となります。

(iii)Fを経由する場合

前問で

P(F)=1／6

と求めました。また、4枚目から6枚目までの流れを考えると、

P_F(X)=(1／2)・(1／3)+(1／2)・(1／3)=1／3

と分かります。よって

P(F∩X)=P(F)P_F(X)=（1／6)・(1／3)=1／18

となります。

(i)(ii)(iii)より、

P(X)

=P(E∩X)+P(E'∩X)+P(F∩X)

=(7／108)+(7／108)+(1／18)

=(7／54)+(3／54)

=10／54

=5／27

となります。

よって答えは「ツ：5　テト：27」となります。

補足

以下はP(E)とP(F)の解説です(前問より引用)。

P(E)は以下のようにして求めます。

Bを経由するかCを経由するかで場合分けして考えます。

 

P(B)=P(A)P_A(B)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(A∩C)=P(A)P_A(C)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(A'∩C)=P(A')P_A'(C)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(C)=P(A∩C)+P(A'∩C)=(1／4)+(1／4)=1／2

PB(E)=1／2

PC(E)=1／3

P(B∩E)=P(B)P_B(E)=(1／4)・(1／2)=1／8

P(C∩E)=P(C)P_C(E)=(1／2)・(1／3)=1／6

 

P(E)

=P(B∩E)+P(C∩E)

=(1／8)+(1／6)

=(3／24)+(4／24)

=7／24

となります。

P(F)は以下のようにして求めます。

P(A∩C)=P(A)P_A(C)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(A'∩C)=P(A')P_A'(C)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(C)=P(A∩C)+P(A'∩C)=(1／4)+(1／4)=1／2

P_C(F)=1／3

 

ですから、

 

P(F)=P(C)P_C(F)=(1／2)✕(1／3)=(1／6)

となります。