第三種電気主任技術者の過去問
平成29年度（2017年）
理論 問8

オームの法則および、分流の法則を利用する問題です。

まずは、オームの法則から、回路全体の合成インピーダンスZを求めます。

　合成インピーダンス Z＝V/I＝100/20＝5Ω

次に、R1とR2の合成抵抗R0を求めます。
R0とリアクタンスXの二乗和平方根がZのスカラー量となりますので、

　　Z＝√(R0^2＋X^2)
　　5＝√(R0^2＋4^2)
　　25＝(R0^2＋16)　※両辺を2乗
　R0^2＝9
　　R0＝3Ω

続いて、分流の法則より、I1とI2は以下の式で表されます。

　I1＝R2/(R1＋R2)
　I2＝R1/(R1＋R2)

I1：I2＝1：3ですから、上記の式より、R1とR2の比は下記になります。

　R1：R2＝3：1

したがって、R2をR1であらわすと、下記になります。

　R2＝1/3×R1

さて、はじめにもとめたとおり、R1とR2の合成抵抗R0は3Ωでした。
この値から、R1を逆算してこの問題の回答を導きます。

　R0＝3Ω＝R1×R2/(R1＋R2)
　　　　 ＝R1×1/3×R1/(R1＋1/3×R1)
　　　　 ＝1/3×R1^2/(4/3×R1)
　　　　 ＝1/4×R1

したがって、

　R1＝4×R0＝12Ω

よって、この問題の正解は【5】となります。

問題の回路図は交流回路におけるＲ-Ｌ直並列回路となっており、全電流I=20Aに対して抵抗R₁、R₂にそれぞれ1:3の比率で電流が分流されます。

なのでキルヒーホッフの第1法則により、次のような関係が成り立ちます。

・20[A]＝I₁+I₂‥①

また問題で与えられている電流の比率を変形すると以下のようになります。

・I₁:I₂ = 1:3

・I₂ =3I₁‥②

上記②を①式に代入して電流I₁、I₂それぞれの値を求めていきます。

・20[A]＝I₁+3I₁＝4I₁‥①´

・I₁＝20/4＝5[A]

・I₂＝20-5＝15[A]

 

抵抗に流れる電流値を求めることができたので次に抵抗R₁、R₂にかかる電圧を求めていきます。

問題の条件より交流電圧E=100V、さらに誘導性リアクタンスX=4ΩのコイルにはI=20Aが流れ、そこにかかる電圧をＶ_Lとすると以下のようになります。

・Ｖ_L＝X×I=4×20＝80[Ｖ]

次に抵抗にかかる電圧はベクトル和で求める事が出来、次のようになります。

・Ｖ_Ｒ＝√E²－Ｖ_L²＝√100²－80²＝60[Ｖ]

※抵抗R₁、R₂並列なので同じ60[Ｖ]がかかります。

 

電流と電圧が分かったのでオームの法則により、抵抗R₁を求めていきます。

・R₁＝Ｖ_Ｒ/I₁＝60/5＝12[Ω]

以上のようになります。

 

回路の電源電圧と全電流が記述されていますので、回路全体のインピーダンスZは

Z=V/I

Z=100/20

Z=5

リアクタンスXが4Ωですので、合成抵抗Rは

R=√(5^2-4^2)

R=3

I1：I2比が1：3であるので

R2=1/3×R1

合成抵抗Rの式は

R=R1×R2/R1+R2

R=(R1×1/3×R1)/(R1+1/3×R1)

よって、R1は

R1=4R

R1=4×3

R1=12

以上により、選択肢の【5】が正解となります。

正解：【５】

・まずはR1とR2の合成抵抗Rを計算します。

この回路のインピーダンスを計算する時、抵抗R₁とR₂は実部となり、インダクタンスは虚部となります。

R₁とR₂は並列接続となっています。その合成抵抗をRとします。

回路のインピーダンスZは、

　Z ＝ √ ( R² ＋ X² )

よって、Rは次のように計算できます。

式1）　R ＝ √ ( Z² － X² )

Zはオームの法則を使って次のように計算できます。

　Z ＝ E / I

こちらを式１に代入すると次のようになります。

　R ＝ √ { (E / I)² － X² }

　　＝ √ { (100/20)² － 4² }

　　＝ √ ( 5² － 4² )

　　＝ √ ( 25 － 16 )

　　＝ √ 9

　　＝ 3

・電流の比から抵抗の比を計算できます。同じ電圧が印加されているため、

　R₁ ＊ I₁ ＝ R₂ ＊ I₂

→　R₁ ＝ R₂ ＊ I₂ / I₁

　　　 ＝ R₂ ＊ 3

となります。

並列抵抗Rの計算式の R₂ に R₁/3 を代入すると、次のようになります。

　R ＝ R₁ ＊ R₂ / (R₁ ＋ R₂)

　　＝ ( R₁² /3 ) / (R₁ ＋ R₁/3)

　　＝ R₁ ＊ (1/ 3) / (4/3)

　　＝ R₁ / 4

よって、R₁は次のように計算できます。

　R₁ ＝ 4＊R

　　 ＝ 4＊3

　　 ＝ 12［Ω］

以上により、選択肢の【５】が正解となります。