第三種電気主任技術者の過去問 平成29年度（2017年） 機械 問54

この問題は、電動機の力を持ち上げるために使う場合と、回転に使う場合の2パターンで考えます。


まず、エレベータです。

エレベータの場合、電動機の力でエレベータと人や荷物を持ち上げるパターンです。
物を持ち上げる時のトルクを求める式は、

T（N・m）＝F（N）・r（m）　－－－①
となります。

電動機の力Fは、重さm（kg）、加速度g（m/s^2）で表すと
※通常、加速度はa（m/s^2）で表すのですが、エレベータにかかるのは重力加速度なのでg（m/s^2）にしてます。

F（N）＝m×g　－－－②
となります。

距離をエレベータの滑車の半径rとすると、式①に式②を代入して

T＝F×r＝m×g×r　－－－③
となります。

速度の変化を時間tで割ったものが重力加速度g（m/s^2）なので、

g（m/s^2）＝Δv（m/s）÷ t（s）　－－－④
となります。

式③に式④を代入して、

T＝m×(Δv/t)×r

Δvは速度変化なので、速度に対してトルクは一定となります。

よって、（ア）は「一定」が入ります。


次は、電動機の力を回転に使うパターンです。
空気や水などの流体の搬送は、
ファンやポンプの羽根車を回転させて流体を搬送するので、
電動機の力を回転に使うパターンで考えます。

先ほどのエレベータでは重さm（kg）としていましたが、
流体の場合は、重さm（kg）に速度v（m/s^2）が関係してきます。

例えば、問題文で挙げられている送風機だと、
空気密度ρ（kg/m^3）と搬送面積A（m^2）、空気の速度v（m/s）、時間t（s）より

m（kg）＝ρ×A×v×t

1秒間に動かす空気の重さは、

m（kg）＝ρ×A×v　－－－⑤
となります。

回転トルクTは、角速度ω（rad/s）と電動機の電力P（W）で表すと、

T＝P/ω　－－－⑥
となります。

それでは、電動機の電力Pと角速度ωを求めます。

まず、電動機の電力Pです。
電力は、1秒あたりのエネルギー（J/s）です。
電動機が動かしている空気の 運動エネルギーから 電力を求めます。

速度vで流れる空気（送風機なので）の 運動エネルギーE（J）を、
空気の重さmと速度vで表すと、

E（J）＝1/2×m×v^2　－－－⑦
となります。

1秒間の運動エネルギーで考えると、
P（W）＝1/2×m×v^2　－－－⑧

式⑧に式⑤を代入すると
P（W）＝1/2×（ρ×A×v）×v^2＝1/2×ρ×A×v^3

P（W）＝1/2×ρ×A×v^3　－－－⑨
となります。


次に角速度のωです。
角速度ωを送風機の回転速度v、送風機の半径rで表すと、

ω（rad/s）＝v/r　－－－⑩

式⑥に式⑨と式⑩を代入して、

T＝P/ω＝1/2×（ρ×A×v^3）/（v/r）
＝1/2×（ρ×A×v^2）×r

T＝1/2×（ρ×A×v^2）×r
となります。

送風機のトルクは、速度に対して2乗に比例します。

よって、（イ）は、「2乗に比例」が入ります。

送風機で流す空気量Q（m^3/s）は、搬送面積A（m^2）と空気の速度v（m/s）で表すと

Q（m^3/s）=A×v　－－－⑪
となります。

風量は速度に対して比例して変化します。

よって、（ウ）は「比例」が入ります。


電動機に必要な電力は、式⑨（P＝1/2×ρ×A×v^3）より
速度の3乗に比例して変化します。

よって、（エ）は「3乗に比例」が入ります。


それでは、選択肢の中から正解を選びます。

（ア）一定、（イ）2乗に比例、（ウ）比例、（エ）3乗に比例、なので

正解は「4」になります。

解答・解説
質量m[kg]の物体を持ち上げるのに必要な力F[N]は重力加速度をg[m/s^2]とすると
F=mg[N]
となります。
電動機に直結された滑車を用いてこの質量m[kg]の物体を持ち上げるのに必要なトルクT[N・m]は滑車の半径をr[m]として
T=F・r=mgr[N・m]
となります。
これがエレベータに用いられる電動機の必要トルクとなり、速度に関係なく一定のトルク特性を持つことがわかります。
送風機の場合、力の対象が空気ですので空気の密度をρ[kg/m^3]、ダクトの断面積をA[m^2]、速度をv[m/s]とすると空気の質量m[kg]は
m=ρ・A・v[kg]
となります。
ここで、風量をQ[m^3/s]とすると
Q=A・v[m^3/s]
となります。
必要なエネルギーE[J]は
E=(1/2)・m・v^2=(1/2)・ρ・A・v^3[J]
となります。
Eを単位時間当たりのエネルギーとすると消費電力P[W]に等しいので、
P=(1/2)・ρ・A・v^3[W]
トルクT[N・m]は角速度ω[rad/s](=速度v[m/s]/送風機の半径r[m])として
T=P/ω=P・r/v=(1/2)・ρ・A・r・v^3/v=(1/2)・ρ・A・r・v^2[N・m]
となります。
上記より、送風機のトルクは速度の2乗に比例、風量は速度に比例、必要電力は速度の3乗に比例することがわかります。
よって答えは4番の(ア)一定の比例、(イ)2乗に比例する、(ウ)比例、(エ)3乗に、となります。