第三種電気主任技術者の過去問 平成30年度（2018年） 理論 問20

正解は3です。

平行平板コンデンサの静電容量の計算式で
C = (εr×ε0×S)/dが成立します。
　　C:平行平板コンデンサ　
　　εr:比誘電率
　　ε0:真空誘電率
　　S:極板の面積
　　d:極板間の間隔

上記の式より、固体誘電体静電容量Crは
Cr = (εr×ε0×S)/4d　・・・①

固体誘電体静電容量C0は
C0 = (ε0×S)/d　・・・②

誘電体と空気の境界面の電位Vはコンデンサにおける分圧の法則より
V = (Cr/(Cr+C0))×V0

上記の式に①と②を代入します。

V = ((εr×ε0×S)/4d) / ((εr×ε0×S)/4d +(ε0×S)/d ) ×V0
　= (εr/4) / ((εr)/4 +1 )×V0
　= (εr/4) / ((εr+1)/4 )×V0
　= (εr /εr+4 )×V0　・・・③

平行平板コンデンサの電界Eと電圧Vの関係は
V = E × d

上記の式に③を代入します。
(εr / εr + 4 ) × V0 = E × d
(εr / εr + 4 ) × 10 = 2.5×1
(10 εr /εr + 4 ) = 2.5
10 εr = 2.5 εr + 10
7.5εr = 10
　εr = 10 / 7.5
　εr ≓ 1.33

よって、3が正解となります。

解答・解説
平行平板電極の面積をS[m^2]、間隔をd[m]、誘電率をε[F/m]とすると静電容量C[F]は
C=εS/d
となります。誘電体の静電容量をCr[F]、空気の静電容量をCv[F]とすると
Cr=εr×ε0×S/4d
Cv=ε0×S/d
となります。
空気ギャップに加わる電位Vv[V]は上式を用いて整理すると
Vv=Cr/(Cr+Cv)×V0=εr×ε0×S/4d/(εr×ε0×S/4d+ε0×S/d)×V0=εr/(εr+4)×V0・・・・・①
となります。
電界と電位には
V=Ed
の関係がありますので
Vv=Ed・・・・・②
として①式と②式より
Ed=εr/(εr+4)×V0
Ed(εr+4)=εr×V0
εr(Ed-V0)=-4Ed
εr=4Ed/(V0-Ed)=(4×2.5×10^6×1×10^-3)/(10×10^3-2.5×10^6×1×10^-3)=1.33333…=1.33
よって答えは3番の1.33となります。