第三種電気主任技術者の過去問 令和3年度（2021年） 機械 問55

折れ点周波数ω_Cは、時定数τの逆数で表されます。

τ ＝ RC、RC ＝ 10 × 0.001　なので、

　ω_C ＝ 1／0.01 ＝ 100

よってアは100となります。

次に、入力電圧に対する出力電圧である周波数伝達関数G(jω)と、ゲイン特性gを求めます。

入力電圧をvi(jω)とすると、出力電圧vo(jω)は、

　vo(jω) ＝ vi(jω) ×｛1／(jωCR ＋ 1)｝

となるので、周波数伝達関数G(jω)は、

　G(jω)＝vo／vi＝1／（1＋jωCR）

となります。

ゲイン特性gは、20log₁₀|G(jω)|で表されるので、

　g＝20log₁₀|｛1／(1 ＋ jωCR)｝|

となり、絶対値を外して整理すると、

　g ＝ 20log₁₀ 1 − 20log₁₀｛1²＋(ωCR)²｝^1/2

　　＝−20log₁₀｛1²＋(ωCR)²｝^1/2

　　＝−10log₁₀｛1＋(ωCR)²｝

となります。

ここで、ωが十分に小さい（≒ 0）とき、ゲイン特性は

　g ＝ −10log₁₀1 ＝ 0

なので、イは0となります。

次に、ωが十分に大きい（≒∞）とき、

　g ＝ −10log₁₀(ωCR)²

　　＝ −20log₁₀(ωCR)

となり、角周波数ωが10倍になれば、

　g ＝ −20log₁₀(10ωCR)

　　＝ −20log₁₀10 − 20log₁₀(ωCR)

　　＝ −20 − 20log₁₀(ωCR)

となることから、角周波数が10倍になるごとに20dB減ることが分かります。

よってウは20となります。

位相θは、

　θ ＝ tan^-1(ωCR)

で求めることができます。

ここで、ωが十分に大きいと、θは−∞に近づきます。

tanθ ＝ −∞のとき、θ ＝ −90°なので、エは90となります。

一次遅れ要素に関する問題です。

制御動作において，入力信号から出力信号が発生した時，出力信号の位相が入力信号の位相よりも遅れる場合，これを遅れ要素と呼びます。

◆問題文中の伝達関数について

＊W(jω）＝ E₀(jω)／E_i(jω) ＝ 1／1 ＋ jωCR　となります。

（ア）折れ点角周波数ω_c［rad/s］について

＊ω_c ＝ 1/T ＝ 1/CR ＝ 1/(10×0.001) ＝ 100［rad/s］

（イ）ゲイン特性 ω_c［rad/s］より十分低い角周波数➡ ω ＝ 0 の場合

＊G ＝ 20log₁₀1 − 10log₁₀ (1 ＋ (ωT)²) ＝ 20log₁₀1 − 10log₁₀ (1 ＋ (0×T)²) ＝ 0［dB］

（ウ）ゲイン特性 ω_c［rad/s］より十分高い角周波数➡ ( 1＋(ωT)² ) の1省略の場合

＊G ＝ 20log₁₀1 − 10log₁₀ (1 ＋ (ωT)²) ＝ 20log₁₀1 − 10log₁₀ ( (ωT)² )

　　＝ −20log₁₀ωT［dB］となります。

このうち，ωが10倍となると，

＊ −20(log₁₀10 ＋ log₁₀ωT) となり，20［dB］の減少となります。

（エ）位相特性について

＊W(jw) ＝ 1／1 ＋ jωCR より cosθ＝1／√1²＋(ωCR)² ≒ 1／ωCR ＝ 1／ωT

　ここで ωT ＝ ∞ となりますので，cosθ ＝ 0 より、θ ＝ cos^-10 ＝ 90° となります。

図の回路において、入力電圧に対する出力電圧を、一次遅れ要素の周波数伝達関数として表したとき、折れ点角周波数 ω_C は（ ア．100 ）rad/sである。ゲイン特性は、 ω_C よりも十分低い角周波数ではほぼ一定の（ イ．0 ）dBであり、 ω_C よりも十分高い角周波数では、角周波数が10倍になるごとに（ ウ．20 ）dB減少する直線となる。また、位相特性は、 ω_C よりも十分高い角周波数でほぼ一定の（ エ．90 ）° の遅れとなる。