まず、スイッチSを開いた場合の回路を考えます。
回路が消費する電力Pは抵抗Rで発生するので、
電流Iは、
I = E/√{R2+(2πfL)2}
で表すことができ、
電力Pの式に代入すると、
P = (E2/{R2+(2πfL)2)}×R
となります。
次にスイッチSを閉じた場合を考えると、
回路上のインダクタンスLには電流が流れなくなり、
抵抗Rのみの回路であることが分かります。
このときの電流I'及び電力P'は、
I' = E/R
P' = E2/R
スイッチSが開いているときに回路が消費する電力Pは、
スイッチSが閉じているときに回路が消費する電力P'の1／2になることから、
P'/P = (E2/R)/{E2/(R2+(2πfL)2)}×R = 2
となります。
さらにこの式をLについて変換すると、
L = R/(2πf)
が求められます。
こちらが正しいです。
インダクタンス接続前後の交流電力の変化に関する計算問題です。
◆スイッチ開閉時の方向成分を含む電流
・スイッチが閉じている時の電流Ic
Ic ＝ E / R
・スイッチが開いている時の電流Io
Io ＝ E / (R＋jωL)
＝ E / (R＋j2πfL)
◆スイッチ開放前後の方向成分を含まない電流の大きさ
・スイッチ開放前の電流Icの大きさ
Ic ＝ E / R ・・・①
・スイッチ開放後の電流Ioの大きさ
Io ＝ E / √(R2＋(ωL)2)
＝ E / √(R2＋(2πfL)2) ・・・②
※複素数jを2乗すると−1になりますが、ここでは大きさのみを比較したいので無視しています。
次に、スイッチ開閉時に流れる電流の大きさの変化を考えます。
◆スイッチが開いている時の電流
「スイッチSが開いているときに回路が消費する電力[W]は、スイッチSが閉じているときに回路が消費する電力[W]の1/2になった」とあるので、
P ＝ RI2の公式よりスイッチが閉じている時の電流の1/√2倍となります。
(抵抗は固定であるため、変化するのは電流のみ)
したがって、スイッチ開閉時の電流の大きさの比は、
Io ＝ Ic / √2
となります。
これに①と②を代入・展開し、Lを求めていきます。
Io ＝ Ic / √2
E / √(R2＋(2πfL)2)) ＝ (E/R) / √2
1 / √(R2＋(2πfL)2)) ＝ (1/R) / √2
1 / R ＝ √2 / √(R2＋(2πfL)2)
1 / R2 ＝ 2 / (R2＋(2πfL)2)
2R2 ＝ R2 ＋ (2πfL)2
R2 ＝ (2πfL)2
R ＝ 2πfL
よって、
L ＝ R / 2πf
となります。
