第三種電気主任技術者の過去問
令和4年度（2022年）下期
理論 問6

・図1(コンデンサの並列接続)の合成静電容量

　C₀₁ ＝ C ＋ C ＝ 2C [F]

・図2(コンデンサの直列接続)の合成静電容量

　C₀₂ ＝ C²/(C＋C) ＝ C²/2C ＝ C/2[F]

したがって、並列接続の合成静電容量は直列の場合の4倍となります。

1つのコンデンサの静電エネルギーは　W＝1/2×CV²　で求めることができます。

コンデンサが複数のある場合は、これを合計したものが全体の静電エネルギーとなります。

・図1(並列接続)の場合の静電エネルギー

　W₁ ＝ (1/2×CE²) ＋ (1/2×CE²)

　　＝ CE² [J]

・図2(直列接続)の場合の静電エネルギー

電圧がコンデンサ1つあたり1/2に分圧されていることに注意して表します。

　W₂ ＝ {(1/2)×C×(E/2)²} ＋ {(1/2)×C×(E/2)²}

　　＝ (CE²/8) ＋ (CE²/8)

　　＝ CE²/4 [J]

したがって、図1(並列接続)の方が蓄えられるエネルギーがより大きくなります。

2つのコンデンサが直列接続されている場合の静電エネルギーと同様の計算をします。

追加される2つも直列に接続されるので

　W ＝ {(1/2)×C×(E/4)²}＋{(1/2)×C×(E/4)²}＋{(1/2)×C×(E/4)²}＋{(1/2)×C×(E/4)²}

　　＝ (CE²/32)＋(CE²/32)＋(CE²/32)＋(CE²/32)

　　＝ (4/32)×CE²

　　＝ CE²/8[J]

したがって、この接続方法では図1より小さくなり、等しくなることはありません。

図2のような直列接続で、図1と同じ静電エネルギーを得るためには、

分圧することを考慮して2倍の電圧が必要となります。

　W ＝ {(1/2)×C×(2E/²)2} ＋ {(1/2)×C×(2E/²)2}

　　＝ (CE²/2) ＋ (CE²/2)

　　＝ CE²

・図1(並列接続)の場合の1つのコンデンサに蓄えられる電荷

　Q₁ ＝ CE

・図2(直列接続)の場合の1つのコンデンサに蓄えられる電荷

　Q ＝ C×(E/2)

したがって、並列接続したコンデンサに蓄えられる電荷は、直列接続の2倍となります。

図1の合成静電容量は並列なので以下となります。

・C₀=Ｃ+Ｃ＝2C［F］

図2の合成静電容量は直列なので以下となります。

・C₀=(C×Ｃ)/(Ｃ+Ｃ)＝C/2［F］

次に図1と図2の合成静電容量を比較します。

 ・2C/(C/2)＝4

以上より図1の回路のコンデンサの合成静電容量は、図2の回路の4倍なのでこの記述は適切です。

図1の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは次のようになります。

・W=1/2×2ＣE²＝ＣE²［J］

図2の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは次のようになります。

・W₁=1/2×Ｃ×(E/2)²＝ＣE²/8［J］

・W₂=1/2×Ｃ×(E/2)²＝ＣE²/8［J］

※直列回路の場合、電源E[V]は分圧されるのでE/2となります。

・W=W₁+W₂=ＣE²/8+ＣE²/8＝ＣE²/4［J］ 

よって比較すると図1の回路の方が図2の回路より大きいのでこの記述は適切です。

図1の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーはW=ＣE²［J］となります。

図2の回路に、さらに静電容量C［F］のコンデンサを直列に二つ追加した場合、各コンデンサにかかる電源電圧はE/4[V]となります。

よってコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは次のようになります。

・W=1/2×Ｃ×(E/4)²×4＝ＣE²/8［J］

以上の結果より図1と図2は等しくならないのでこの記述は不適切です。

図1の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーはW=ＣE²［J］となります。

図2の回路の電源電圧を2倍にした時の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは次のようになります。

・W₁=1/2×Ｃ×(2E/2)²＝ＣE²/2［J］

・W₂=1/2×Ｃ×(2E/2)²＝ＣE²/2［J］

※直列回路の場合、電源E[V]は分圧されるのでE/2となります。

・W=W₁+W₂=ＣE²/2+ＣE²/2＝ＣE²［J］ 

よって図1と図2は等しくなるのでこの記述は適切です。

図1の回路のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷は次のようになります。

・Q₁=CE[C]

図2の回路のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷は次のようになります。

・Q₂=CE/2[C]

次にQ₁とQ₂を比較すると次のようになります。

・Q₁：Q₂=1：1/2

・Q₁＝2

よって図1のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷は図2のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷の2倍となります。

この記述は適切です。