第三種電気主任技術者（電験三種） 過去問
令和4年度（2022年）下期
問20 (理論 問20)
問題文
大きさが等しい二つの導体球A、Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、導体球に蓄えられている電荷の積に比例し、導体球間の距離の2乗に反比例する。次の問に答えよ。
ただし、両導体球の大きさは0.3mに比べて極めて小さいものとする。
（前問） の導体球A、Bを、電荷を保持したままで0.3mの距離を隔てて固定した。ここで、導体球A、Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを図のように導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離［m］で表したとき、その距離に最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
ただし、両導体球の大きさは0.3mに比べて極めて小さいものとする。
（前問） の導体球A、Bを、電荷を保持したままで0.3mの距離を隔てて固定した。ここで、導体球A、Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを図のように導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離［m］で表したとき、その距離に最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
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問題
第三種 電気主任技術者試験 令和4年度（2022年）下期 問20（理論 問20） （訂正依頼・報告はこちら）
大きさが等しい二つの導体球A、Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、導体球に蓄えられている電荷の積に比例し、導体球間の距離の2乗に反比例する。次の問に答えよ。
ただし、両導体球の大きさは0.3mに比べて極めて小さいものとする。
（前問） の導体球A、Bを、電荷を保持したままで0.3mの距離を隔てて固定した。ここで、導体球A、Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを図のように導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離［m］で表したとき、その距離に最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
ただし、両導体球の大きさは0.3mに比べて極めて小さいものとする。
（前問） の導体球A、Bを、電荷を保持したままで0.3mの距離を隔てて固定した。ここで、導体球A、Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを図のように導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離［m］で表したとき、その距離に最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。
- 0.095
- 0.105
- 0.115
- 0.124
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この過去問の解説 （2件）
01
導体球間に加わる力が釣り合う位置を求める計算問題です。
◆条件を整理します。
・電荷を持たない導体球を導体球Aに接触させます。
この時の導体球Aの電荷QA'は合計電荷の半分の1×10-8[C]、
同じく導体球Cの電荷QC'は1×10-8[C]
となります。
・その後、導体球Cを導体球Bに接触させます。
導体球Aに接触させた時と同様に、それぞれの電荷は合計電荷の半分となるので、
導体球Bの電荷QB'は2×10-8[C]、
導体球Cの電荷QC"は2×10-8[C]
となります。
◆クーロンの法則の公式を利用して釣り合う位置を求めます。
・導体球A−C間の距離をrとすると、クーロンの法則の公式より働く力FACは
FAC ＝ k × (QA'QC")/r2 …①
となります。
・導体球C−B間の距離を 0.3−r とすると、働く力FCBは
FCB ＝ k × (QB'QC")/(0.3−r)2 …②
となります。
題意より、この2つの力が釣り合っている必要があり、
FAC ＝ FCB
となります。
これに①、②と分かっている値を代入します。
FAC ＝ FCB
k × (QA'QC")/r2 ＝ k × (QB'QC")/(0.3−r)2
QA'/r2 ＝ QB'/(0.3−r)2
(1×10-8)/r2 ＝ (2×10-8)/(0.3−r)2
1/r2 ＝ 2/(0.3−r)2
2r2 ＝ (0.3−r)2
2r2 ＝ r2 − 0.6r ＋ 0.09
二次方程式の形に移項します。
r2 ＋ 0.6r − 0.09 ＝ 0
これを二次方程式の解の公式で解き、rを求めます。
r ＝ {−0.6 ± √[0.62−(4×1×(−0.09))]} / (2×1)
＝ {−0.6 ± √(0.36＋0.36)} / 2
＝ (−0.6 ± √0.72)/2
＝ (−0.6 ± 0.848)/2
よって、
r ＝ 0.124、r ＝ −0.724 の2つの解を得ることができます。
題意より、導体球Cは導体球A−B間で釣り合うことになるので、
正しい解は 0.124 [m] となります。
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02
前問からの続きの問題となります。
問題図は電荷を持たない導体球Cが導体球A-B間に加わり、力が釣り合った状態となっています。
前問でも解説したように静電力はF＝QE[N]で表せますが導体球Cは電荷を持ちません。なので通常は釣り合うはずはないのですが問題文より導体球Aにまず接触させたとあります。
これは、電荷を持たない導体球Cを電荷を持つ導体球Aに接触させる事で導体球Cにも電荷が発生します。
ここで発生する電荷は導体球Aに元々ある2×10-8[C]が均等に分散される形となります。
※【導体球A、Bと大きさが等しく】とあるので電荷のみが均等に変化します。
よってこの時点での導体球Cの電荷QCは以下となります。
・QC＝2×10-8/2＝1×10-8[C]‥①
導体球Aは+の電荷なので導体球Cも+となりお互いに反発力が働きます。
次にこの状態の導体球Cをさらに導体球Bの方にも接触させます。
導体球Bは3×10-8[C]なのでQC´は次のようになります。
・QC´＝3×10-8+1×10-8/2＝2×10-8‥②
導体球Bも+の電荷なのでB-C間でも反発力が働きます。
よって導体球Cは導体球A、Bから加わる力によって釣り合っておりFAC＝FBCという事が成り立ちます。
それぞれの静電力は次のようになります。
・FAC＝K×1×10-8/ｒ2‥③
・FBC＝K×2×10-8/（0.3-ｒ）2‥④
この問題で問われているのは導体球A-C間の距離ｒ[ｍ]なので上記式の関係性から求めていきます
・FAC＝FBC
・1/ｒ2＝2/（0.3-ｒ）2‥⑤
※比例定数Kは同じなので省略することができます。
上記⑤式を変形すると以下のようになります。
・（0.3-ｒ）2＝2ｒ2‥⑥
上記⑥式を展開していきます。
・ｒ2+0.6ｒ-0.09＝2ｒ2‥⑥´
・2ｒ2－ｒ2+0.6ｒ-0.09＝0
・ｒ2+0.6ｒ-0.09＝0‥⑦
上記⑦式を解の公式を用いてｒ[ｍ]を求めます。
・ｘ＝－ｂ±√ｂ2－4aC/2a
・ｒ＝－0.6±√0.62－4×1×(－0.09)/2×1≒0.124ｍ
※距離ｒ[ｍ]は正の値となります。
こちらが適切な解答となります。
点電荷に関する問題は頻出しているので繰り返しの学習をお薦め致します。
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