第三種電気主任技術者の過去問
令和4年度（2022年）下期
機械 問16

ω[rad/s]＝100の時、Ｇ(jω)＝－20[dB]、ω[rad/s]＝1000の時、Ｇ(jω)＝20[dB]のボード線図ですが、ω[rad/s]＝100の時の数値が誤りなのでこの選択肢は不適切です。

ω[rad/s]＝100の時、Ｇ(jω)＝－20[dB]、ω[rad/s]＝1000の時、Ｇ(jω)＝40[dB]のボード線図ですが、ω[rad/s]＝100、ω[rad/s]＝1000の時の数値共に誤りなのでこの選択肢は不適切です。

ω[rad/s]＝100の時、Ｇ(jω)＝－20[dB]、ω[rad/s]＝1000の時、Ｇ(jω)＝－20[dB]のボード線図ですが、ω[rad/s]＝100、ω[rad/s]＝1000の時の数値共に誤りなのでこの選択肢は不適切です。

ω[rad/s]＝100の時、Ｇ(jω)＝0[dB]、ω[rad/s]＝1000の時、Ｇ(jω)＝20[dB]のボード線図なのでこの選択肢は適切です。

ω[rad/s]＝100の時、Ｇ(jω)＝0[dB]、ω[rad/s]＝1000の時、Ｇ(jω)＝0[dB]のボード線図ですが、ω[rad/s]＝1000の時の数値が誤りなのでこの選択肢は不適切です。

◆|G(jω)|を求めます。

G(jω)は前問で得た答えを使用します。

基本的な絶対値の求め方は、数学や電気基礎の複素数とベクトルを参照してください。

　|G(jω)| ＝ | 1／(1 − ω²CL ＋ jωCR) |

　　　＝ 1／√{ (1 − ω²CL)²＋(ωCR)² }

　　　＝ { √(1 − ω²CL)² ＋ (ωCR)² }⁻¹

　　　＝ { (1 − ω²CL)² ＋ (ωCR)² }^−1/2　　……①

　　補足：√を指数関数で表すと1/2乗になる証明

　　　(√X)² ＝ X

　　　X^1/2 × X^1/2 ＝ X

◆G ＝ 20 log₁₀|G(jω)| に①とRLCの値を代入します。

　G ＝ 20 log₁₀ {(1 − ω²CL)² ＋ (ωCR)²}^−1/2

　　＝ −10 log₁₀ {(1 − ω²CL)² ＋ (ωCR)²}

　　＝ −10 log₁₀ {(1 − ω² × 100 × 10⁻⁶ × 0.01)² ＋ (ω × 100 × 10^-6 × 1)²}

　　＝ −10 log₁₀ {(1 − 10⁻⁶ × ω²)² ＋ (10⁻⁴ × ω)²}　　……②

◆②にω ＝ 100 [rad/s]を代入してゲインを求めます。

　G ＝ −10 log₁₀ {(1 − 10⁻⁶ × ω²)² ＋ (10⁻⁴ × ω)²}

　　＝ −10 log₁₀ {(1 − 10⁻⁶ × 100²)² ＋ (10⁻⁴ × 100)²}

{(1 − 10⁻⁶ × 100²)² ＋ (10⁻⁴ × 100)²} ≒ 1　となるので

　G ＝ −10 log₁₀1 ＝ 0 [dB]

◆②にω ＝ 1000 [rad/s]を代入してゲインを求めます。

　G ＝ −10 log₁₀ {(1 − 10⁻⁶ × ω²)² ＋ (10⁻⁴ × ω)²}

　　＝ −10 log₁₀ {(1 − 10⁻⁶ × 1000²)² ＋ (10⁻⁴ × 1000)²}

{(1 − 10⁻⁶ × 1000²)² ＋ (10⁻⁴ × 1000)²} ＝ 0.01 ＝ 10⁻²　となるので

　G ＝ −10 log₁₀10⁻²

　　＝ 20 log₁₀10

　　＝ 20 [dB]

◆②にω ＝ 10000 [rad/s]を代入してゲインを求めます。

　G ＝ −10 log₁₀ {(1 − 10⁻⁶ × ω²)² ＋ (10⁻⁴ × ω)²}

　　＝ −10 log₁₀ {(1 − 10⁻⁶ × 10000²)² ＋ (10⁻⁴ × 10000)²}

{(1 − 10⁻⁶ × 10000²)² ＋ (10⁻⁴ × 10000)²} ≒ 10⁴となるので

　G ＝ −10 log₁₀10⁴

　　＝ −40 log₁₀10

　　＝ −40 [dB]

ω ＝ 100、1000、10000でそれぞれ計算した値を通るボード線図は、この選択肢となります。