一級建築士の過去問
令和2年(2020年)
学科4(構造) 問76

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問題

一級建築士試験 令和2年(2020年) 学科4(構造) 問76 (訂正依頼・報告はこちら)

図のようなラーメンA、ラーメンB及びラーメンCの柱の弾性座屈荷重をそれぞれPA、PB及びPCとしたとき、これらの大小関係として、正しいものは、次のうちどれか。ただし、全ての柱及び梁は等質等断面の弾性部材であり、「柱及び梁の重量」及び「柱の面外方向の座屈及び梁の座屈」については無視するものとする。
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この過去問の解説 (3件)

01

正解は4です。

弾性座屈荷重の公式を使用します。

弾性座屈荷重 Pe=π²EI/lk²
E:ヤング係数
I:座屈軸に関する断面二次モーメント
lk:座屈長さ

柱は等質等断面なので、E、Iは共通です。柱は弾性座屈荷重の大小関係は柱の座屈長さで決まります。
ラーメンAは水平移動自由、柱脚がピン、柱頭が固定のlkA=2h
ラーメンBは水平移動自由、柱脚がピン、柱頭が固定のlkB=2h
ラーメンCは水平移動自由、柱脚が固定、柱頭が固定のlkC=h
次にラーメンA、ラーメンBを比較します。梁が短く、梁の剛度が大きいラーメンAの方が、柱頭の回転を強く拘束するので、柱の座屈長さは短くなり、lkA<lkBとなります。よって、lkC<kA<lkBとなります。座屈長さの大小関係の逆が弾性座屈荷重の大小関係となるので、PC > PA > PBとなります。

※ラーメンA・B・Cの柱頭を固定としていますが、梁が剛体ではないので、正確には固定ではないです。計算のしやすさを考慮し、固定にしています。

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02

正解は4です。

弾性座屈荷重 P = π2EI/i2

  E:ヤング係数

  I:座屈軸に関する断面二次モーメント

  i:座屈長さ

ここで、全ての柱は等質断面なので、EIは共通となるため、比較はiの座屈長さで行うことができます。

まず、梁の長さが同じであるラーメンAとラーメンCを比較します。

柱においてラーメンAはヒンジ支持、ラーメンCは固定支持です。

梁の剛度に応じて柱頭の回転拘束の度合いが異なりますが、梁は等質断面で長さも同じあるため、AとCの剛度は等しく、柱頭の回転拘束の度合いは同じです。

したがって、柱脚の固定度が高いほど座屈長さは短くなるため iKC < iKA となります。

次に、柱脚がともにピン支持であるラーメンAとラーメンBを比較します。

断面二次モーメントを比較すると、剛度KA、KBはそれぞれ

KA = I/i 、KB = I/2i

よって iKA < iKB

したがって、座屈長さの大小関係は  iKC < iKA< iKB となります。

弾性座屈荷重は座屈長さの2乗に反比例します。

よって、弾性座屈荷重の大小関係は PC > PA > PB となります。

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03

この問題は弾性座屈荷重の大小の比較に関する問題です。弾性座屈荷重の公式や座屈長さを利用して解く問題となるため、解き方をしっかり理解しましょう。

選択肢1. PA = PC > PB

誤りです。

選択肢2. PB > PA > PC

誤りです。

選択肢3. PC > PA = PB

誤りです。

選択肢4. PC > PA > PB

正しいです。

まとめ

弾性座屈荷重Peは次式で求めることができます。

Pe = π2EI / lk2

E:ヤング係数 I:座屈に関する軸回りの断面二次モーメント lk座屈長さ

ラーメンA、ラーメンB、ラーメンCは等質等断面の弾性部材であることからヤング係数と断面二次モーメントは一定であるため、弾性座屈荷重は座屈長さの大小にて比較することができます。

 

柱の座屈長さの比較

ラーメンAの柱の座屈長さlkAは水平移動自由、柱脚はピンであるため、2h ≦ lkA ≦ ∞

ラーメンBの柱の座屈長さlkBは水平移動自由、柱脚はピンであるため、2h ≦ lkB ≦ ∞

ラーメンCの柱の座屈長さlkCは水平移動自由、柱脚は固定であるため、h ≦ lkC ≦ 2h

よって、lkC < lkA、lkC < lkB となります。

 

梁の剛比の比較

剛性は部材長が短いほど大きくなるため、ラーメンBの梁の剛比を1とすると、ラーメンAの梁の剛比は0.5となります。

よって、ラーメンBよりもラーメンAの方が杭頭の固定度が高くなるため、

柱の座屈長さは、lkA < lkBとなります。

 

以上より、座屈長さの大小はlkC < lkA < lkBとなります。

弾性座屈荷重は座屈長さの二乗に反比例することから、大小はPeB < PeA < PeCとなります。

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