一級建築士の過去問 令和3年（2021年） 学科4（構造） 問75

トラスの水平変位を求める問題です。

各トラスの左下を点D、右下を点Eとして解説します。

水平変位の伸びた量Δℓ（デルタエル）は、次の式で求められます。

Δℓ ＝ Nℓ ／ AE　（N：軸方向の力　A：断面積　E：ヤング係数）

①各トラスの下弦材（水平材）の力（N）を求めるために、反力を求めます。

【トラスA】

頂点にのみ鉛直方向の下向きの荷重があるので、点Dと点Eの反力は上向きに均等になります。

点D、点Eの反力 ＝ P／2（上向き）

【トラスB、C】

頂点にのみ水平方向の荷重があるので、D点まわりのモーメントのつり合いにより反力を求めます。

点Eの反力（VE）を上向きに仮定します。

ΣMD ＝ 0 より

　P × ℓ − VE × 2ℓ ＝ 0

　VE ＝ 2／P

反力（VD）は鉛直方向の釣り合いにより求められ、

点Dの反力（2／P　下向き）、点Eの反力（2／P　上向き）となります。

よって、トラスＡ～Ｃ、全てのトラスの点Eの反力は　P／2（上向き）となります。

②トラスの水平材の軸方向力を求めます。

ローラー支点（点E）において、求めた反力を示力図が閉じるように転記します。

水平材（下弦材）の軸方向力をNとすると、直角二等辺三角形の三角比により、Nの大きさは反力と同じP／2（左向き、引張）となります。

よって、トラスＡ～Ｃ、全ての点Eの軸力(N)は　2／P（左向き、引張）となります。

求めたNを解説文はじめの式に代入し、水平変位（Δℓ）を求めます。

（α：設問文及び図に記載の断面積）

トラスA、B

Δℓ ＝ ( 2/P × ℓ ) ／ ( E × α )

トラスC

Δℓ ＝ ( 2/P × ℓ ) ／ ( E × ２α )

よって、水平変位の大小関係は　δ_C ＜ δ_A ＝ δ_B　となり、選択肢3が正しいです。

簡単なようで結構難しい、ぱっと見だと、水平力が掛かるB、Cの方がAより伸びそうですよね。

見事に引っ掛かりました。

実は軸方向力はトラスA、B、Cすべて同じでした。

トラスの解き方はいろいろですが、文字だけだとわかりにくいので参考書などを参照してください。

私は時計回りに力の矢印を書いていくやり方で解きました。

すべてのトラスの下弦材の軸方向力は P／2 となります。

力が同じなら、変位δは材の断面積に反比例する（細い方がよく伸びる）ので、

断面積順に考えて、

　δ_C ＜ δ_A ＝ δ_B

よって、正解は３となります。

選択肢3が正しいです。

部材に生じる応力度をσ、ヤング係数をE、ひずみ度をεとすると、

σ = E × ε　となり、

σ = N/A　（N：部材に生じる軸方向力、A：部材の断面積）

ε = δ/l　（δ：軸方向力の変位、l：部材の長さ）

であることから、

N/A = E×δ/l　より

δ = (N×l) / (E×A)　となります。

トラスA、B、Cの水平変位を考えます。

ピン支点をD点、頂点をE点とし、下弦材を含むような形で切断し、切断面の引張力をN_A、N_B、N_Cと仮定します。

力の釣り合いから仮定した引張力を求め、下弦材の水平変位δ_A、δ_B、δ_Cを求めます。

【トラスAの下弦材】

D点の鉛直反力　V_D = P/2（上向き）

∑M_E = P/2×l − N_A×l = 0　　Pl/2 − N_Al = 0

　N_Al = Pl/2　　N_A = P/2

よって、δ_A = (P/2×l) / (E×a) = Pl/2Ea

【トラスBの下弦材】

D点の水平反力　H_D = P（左向き）

D点の鉛直反力　V_D = P/2（下向き）

∑M_E = P×l − P/2×l − N_B×l = 0　　Pl/2 − N_Bl = 0

　N_Bl = Pl/2　　N_B = P/2

よって、δ_B = (P/2×l) / (E×a) = Pl/2Ea

【トラスCの下弦材】

トラスBと同じ形式ですが、下弦材の断面積が2aであることから

δ_C = (P/2×l) / (E×2a) = Pl/4Ea

よって、下弦材の水平変位の大小関係は、δ_C ＜ δ_A = δ_B　となります。