第三種電気主任技術者（電験三種） 過去問
令和5年度（2023年）下期
問2 (理論 問2)

この問題は静電力に関する問題となり、空白箇所に適切な記述を当てはめていく問題となります。

各空白箇所は以下のようになります。

(ア)‥反発力

・問題文より導体球Aの電荷がQ[C]、導体球Bの電荷が3Q[C]とあるのでどちらも正の電荷が帯電しています。クーロンの法則により同符号の電荷間は反発力が働くので、(ア)は反発力が適切と言えます。

(イ)‥3Q²/4πε₀d²

・距離ｄ[ｍ]で置かれた二つの点電荷Q_A、Q_Bにはクーロン力F[N]が働きます。媒質の誘電率ε[F/ｍ]とするとクーロン力Fは以下のようになります。

・クーロン力F=1/4πε₀×Q_AQ_B/ｄ²＝Q_AQ_B/4πε₀ｄ²[N]‥①

上記①式に問題で与えられている条件を代入します。

・F＝Q×3Q/4πε₀ｄ²＝3Q²/4πε₀d²

静電力Fは以上のようになります。

(ウ)‥16πε₀ｌ²ｍｇ/3Q²

まずは問題文で与えられているF²+(ｍｇ)²＝T²を考えていきます。三平方の定理が成り立っているとありますが、これは導体球から見ると水平方向に静電力F[N]が働き、垂直(下)方向には重力ｍｇ[N]が加わった上、その2つの力のベクトル合成和(斜辺)が糸の張力T[N]となります。各点を結ぶと直角三角形に三平方の定理が成立します。

次にF/Tはｄ/2ｌに等しいとありますが、固定点Oからつり下げられている導体球までの距離l［m］と導体球A-B間の中心点の距離ｄ/2［m］から固定点Oまで結ぶと直角三角形が成立します。この三角形と上記F²+(ｍｇ)²＝T²の三角形は相似となり以下のような比の関係となります。

・F：T＝ｄ/2：ｌ‥②

上記②式を変形すると以下のようになります。

・F/T＝ｄ/2ｌ‥②´

さらに問題を読み解くとTを消去し整理するとあるのでF²+(ｍｇ)²＝T²をTで割ります。

・(F/T)²+(ｍｇ/T)²＝1

・(ｍｇ/T)²＝1－(F/T)²

・ｍｇ/T＝√1－(F/T)²‥③

上記③式に②´を代入すると以下のようになります。

・ｍｇ/T＝√1－(ｄ/2ｌ)²‥③´

ここで問題文より、k(ｄ/2ｌ)³＝√1－(ｄ/2ｌ)²の式から係数kを求めた解答が(ウ)の答えとなります。この式と上記③´右辺に着目すると右辺が共通していることが分かります。よって左辺に関しては以下のように考えることも出来ます。

・k(ｄ/2ｌ)³＝ｍｇ/T‥④

この④式から係数kを求めます。

・k＝(2ｌ/ｄ)³×(ｍｇ/T)‥④´

ここで再び②´の関係性から今度はTについて求めます。

・T＝2ｌF/ｄ‥⑤

上記⑤で求めた式を今度は④´のTに代入します。

・k＝(2ｌ/ｄ)³×(ｍｇ/(2ｌF/ｄ)）＝(2ｌ/ｄ)³×(ｍｇｄ/2ｌF)‥⑥

さらに上記⑥式に(イ)で求めたF＝3Q²/4πε₀d²を代入します。

そのまま代入すると分かりにくいので、あえて一式ずつ展開していきます。

・(2ｌ/ｄ)³＝8ｌ³/ｄ³

・(ｍｇｄ/2ｌF)＝ｍｇｄ/2ｌ×(4πε₀d²/3Q²)＝2πε₀d³ｍｇ/3Q²ｌ

最後に上記の2つの式を整理します。

K＝(8ｌ³/ｄ³)×(2πε₀d³ｍｇ/3Q²ｌ)＝16πε₀ｌ²ｍｇ/3Q²

以上のようになります。

(エ)‥増加

問題文より、AB間で電荷が移動し同電位となったとあるのでV＝Q/Cの関係性より、電荷Qも同じ値になったと考えられます。なので導体球Aの電荷は2Q、導体球Bも同じ2Qとなります。

この状態で静電力F[N]を求めると次のようになります。

・F[N]＝4Q²/4πε₀d²

静電力は増加しているので導体球間の距離も増加します。

この問題を解くポイントは、「電荷間に働く力や運動方程式に基づく関係式を正しく整理すること」です。

それでは問題を見ていきましょう。