第三種電気主任技術者（電験三種） 過去問
令和5年度（2023年）下期
問2 (理論 問2)

こちらが適切な解答となります。

1.電荷間に働く静電気力（反発力）はクーロンの法則で表されます。

F = (1 ÷ (4 × π × ε0)) × ((Q1 × Q2) ÷ d²) [N]

・F：静電気力 [N]

・Q1, Q2：それぞれの電荷量 [C]

・d：電荷間の距離 [m]

・ε0：真空の誘電率（約 8.854 × 10⁻¹² [F/m]）

問題では Q1 = Q、Q2 = 3Q、d = d として与えられています。

公式に代入すると次のようになります。

F = (1 ÷ (4 × π × ε0)) × ((Q × 3Q) ÷ d²)
F = (3 × Q²) ÷ (4 × π × ε0 × d²) [N]

これが反発力です。

2.糸の張力と重力の関係を考えます。

糸がなす角度に応じて力を合成すると、以下の関係式が成立します。

T² + (mg)² = F²

問題文で T = F × (d ÷ (2 × l)) と与えられています。

この T を代入し、両辺を整理すると次の式になります。

((F × d) ÷ (2 × l))² + (mg)² = F²

ここで F をクーロン力に基づく式に置き換えます。

F = (3 × Q²) ÷ (4 × π × ε0 × d²)

これを代入して整理すると、次のようになります。

(d ÷ (2 × l))² × (16 × π × ε0 × l² × mg) ÷ (3 × Q²)

3.電荷 Q と 3Q の物体が接触した場合、電荷は均等に分配されるとされています。

このため、接触後の各物体の電荷量は次のようになります。

Q' = (Q + 3Q) ÷ 2 = 2Q

これに基づいて反発力を再計算すると次のようになります。

F = (1 ÷ (4 × π × ε0)) × ((2Q)² ÷ d²)
F = (4 × Q²) ÷ (4 × π × ε0 × d²)

これが増加に関する記述に対応します。

(ア)反発力

Q_AにはQ[C]、Q_Bには3Q[C]が帯電しているので、反発力となります。

(イ)3Q²/4πε₀d²

クーロン力の公式F＝Q₁Q₂/4πε₀r²より、

F＝Q_AQ_B/4πε₀d²

＝Q✕3Q/4πε₀d²

＝3Q²/4πε₀d²

となります。

(ウ)16πε₀ｌ²mg/3Q²

問題文より、

F/T＝d/2ｌ　…①

F²＋(mg)²＝T² …②

が与えられていますが、これらの式は下図のように、三角形の相似と三平方の定理から得られています。

これらを踏まえて、係数kを求めていきます。

・②をTについて整理します

F²＋(mg)²＝T² 

(F/T)²＋(mg/T)²＝1　※両辺をT²で割る

(d/2ｌ)²＋(mg/T)²＝1　※①を代入

mg/T＝√{1-(d/2ｌ)²}　…④

k(d/2ｌ)³＝√{1-(d/2ｌ)²}　※問題文より

k(d/2ｌ)³＝mg/T　…⑤　※④を代入

1/T＝(d/2ｌ)✕(1/F)　…⑥　※①を移行

k(d/2ｌ)³＝(d/2ｌ)✕(1/F)✕mg　…⑦　※⑥を⑤に代入

k(d/2ｌ)³＝(d/2ｌ)✕(4πε₀d²/3Q²)✕mg　※(イ)を⑦に代入

k(d/2ｌ)³＝(d/2ｌ)✕(4πε₀d²/3Q²)✕mg✕(2ｌ)²/(2ｌ)²　※右辺に(d/2ｌ)³の項を作る

k(d/2ｌ)³＝(d/2ｌ)³✕(4πε₀/3Q²)✕mg✕(2ｌ)²

k(d/2ｌ)³＝(d/2ｌ)³✕(4πε₀/3Q²)✕mg✕4ｌ²

k(d/2ｌ)³＝(d/2ｌ)³✕(16πε₀ｌ²mg/3Q²)

残った項がkとなるので、

k＝16πε₀ｌ²mg/3Q²

となります。

(エ)増加

導体球の接触前と接触後のそれぞれの合計の電荷量は変わらないので、接触前のクーロン力をF、接触後のクーロン力をF'とするとF＝F'となります。

これについて解いていくと、

F＝F'

Q✕3Q/4πε₀d²＝2Q✕2Q/4πε₀d'²

3Q²/4πε₀d²＝4Q²/4πε₀d'²

3/d²＝4/d'²

d'²＝(4/3)d²

と、接触後に釣り合う距離が増加することが分かります。