第三種電気主任技術者の過去問
令和5年度（2023年）下期
理論 問2

この問題は、静電力に関する記述を整理して、空白箇所に適切な内容を当てはめていく形式ですね。以下に各空白に対する適切な記述をまとめてみます。

各空白箇所の記述

(ア) 反発力

記述: 導体球Aの電荷がQ[C]、導体球Bの電荷が3Q[C]であるため、両方の球は正の電荷を帯びています。同符号の電荷間には反発力が働くため、(ア)は「反発力」が適切です。

(イ) 3Q2/4πε0d2

記述: 距離d[m]で置かれた二つの点電荷QA（Q）とQB（3Q）に対するクーロン力F[N]は、次のように表されます。

F = 1/(4πε0) × (Q × 3Q)/d2 = 3Q2/(4πε0d2)

したがって、(イ)には「3Q2/4πε0d2」が適切です。

(ウ) 16πε0l2mg/3Q2

記述: 三平方の定理を用いると、導体球間の静電力Fと重力mgは次のように関係しています。

F2 + (mg)2 = T2

また、FとTの比は次のように表されます。

F/T = (d/2)/l

これを使って、Tを消去し、整理することで静電力Fに関する式を導き出します。最終的に係数kを求めると、(ウ)の答えは「16πε0l2mg/3Q2」となります。

(エ) 増加

記述: 問題文によると、AB間で電荷が移動し、同電位になったため、導体球AとBの電荷はともに2Qになります。この状態で静電力F[N]を求めると次のようになります。

F = 4Q2/(4πε0d2)

したがって、静電力は「増加」しており、導体球間の距離も増加します。よって、(エ)には「増加」が適切です。

まとめ

(ア): 反発力

(イ): 3Q2/4πε0d2

(ウ): 16πε0l2mg/3Q2

(エ): 増加

このように、各空白に適切な記述を当てはめることで、問題を解くことができます。

この問題は静電力に関する問題となり、空白箇所に適切な記述を当てはめていく問題となります。

各空白箇所は以下のようになります。

(ア)‥反発力

・問題文より導体球Aの電荷がQ[C]、導体球Bの電荷が3Q[C]とあるのでどちらも正の電荷が帯電しています。クーロンの法則により同符号の電荷間は反発力が働くので、(ア)は反発力が適切と言えます。

(イ)‥3Q²/4πε₀d²

・距離ｄ[ｍ]で置かれた二つの点電荷Q_A、Q_Bにはクーロン力F[N]が働きます。媒質の誘電率ε[F/ｍ]とするとクーロン力Fは以下のようになります。

・クーロン力F=1/4πε₀×Q_AQ_B/ｄ²＝Q_AQ_B/4πε₀ｄ²[N]‥①

上記①式に問題で与えられている条件を代入します。

・F＝Q×3Q/4πε₀ｄ²＝3Q²/4πε₀d²

静電力Fは以上のようになります。

(ウ)‥16πε₀ｌ²ｍｇ/3Q²

まずは問題文で与えられているF²+(ｍｇ)²＝T²を考えていきます。三平方の定理が成り立っているとありますが、これは導体球から見ると水平方向に静電力F[N]が働き、垂直(下)方向には重力ｍｇ[N]が加わった上、その2つの力のベクトル合成和(斜辺)が糸の張力T[N]となります。各点を結ぶと直角三角形に三平方の定理が成立します。

次にF/Tはｄ/2ｌに等しいとありますが、固定点Oからつり下げられている導体球までの距離l［m］と導体球A-B間の中心点の距離ｄ/2［m］から固定点Oまで結ぶと直角三角形が成立します。この三角形と上記F²+(ｍｇ)²＝T²の三角形は相似となり以下のような比の関係となります。

・F：T＝ｄ/2：ｌ‥②

上記②式を変形すると以下のようになります。

・F/T＝ｄ/2ｌ‥②´

さらに問題を読み解くとTを消去し整理するとあるのでF²+(ｍｇ)²＝T²をTで割ります。

・(F/T)²+(ｍｇ/T)²＝1

・(ｍｇ/T)²＝1－(F/T)²

・ｍｇ/T＝√1－(F/T)²‥③

上記③式に②´を代入すると以下のようになります。

・ｍｇ/T＝√1－(ｄ/2ｌ)²‥③´

ここで問題文より、k(ｄ/2ｌ)³＝√1－(ｄ/2ｌ)²の式から係数kを求めた解答が(ウ)の答えとなります。この式と上記③´右辺に着目すると右辺が共通していることが分かります。よって左辺に関しては以下のように考えることも出来ます。

・k(ｄ/2ｌ)³＝ｍｇ/T‥④

この④式から係数kを求めます。

・k＝(2ｌ/ｄ)³×(ｍｇ/T)‥④´

ここで再び②´の関係性から今度はTについて求めます。

・T＝2ｌF/ｄ‥⑤

上記⑤で求めた式を今度は④´のTに代入します。

・k＝(2ｌ/ｄ)³×(ｍｇ/(2ｌF/ｄ)）＝(2ｌ/ｄ)³×(ｍｇｄ/2ｌF)‥⑥

さらに上記⑥式に(イ)で求めたF＝3Q²/4πε₀d²を代入します。

そのまま代入すると分かりにくいので、あえて一式ずつ展開していきます。

・(2ｌ/ｄ)³＝8ｌ³/ｄ³

・(ｍｇｄ/2ｌF)＝ｍｇｄ/2ｌ×(4πε₀d²/3Q²)＝2πε₀d³ｍｇ/3Q²ｌ

最後に上記の2つの式を整理します。

K＝(8ｌ³/ｄ³)×(2πε₀d³ｍｇ/3Q²ｌ)＝16πε₀ｌ²ｍｇ/3Q²

以上のようになります。

(エ)‥増加

問題文より、AB間で電荷が移動し同電位となったとあるのでV＝Q/Cの関係性より、電荷Qも同じ値になったと考えられます。なので導体球Aの電荷は2Q、導体球Bも同じ2Qとなります。

この状態で静電力F[N]を求めると次のようになります。

・F[N]＝4Q²/4πε₀d²

静電力は増加しているので導体球間の距離も増加します。