第三種電気主任技術者(電験三種) 過去問
令和5年度(2023年)下期
問2 (理論 問2)
問題文
次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。記述中の空白箇所(ア)〜(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε0[F/m]、重力加速度をg[m/s2]とする。A及びBは同じ大きさと質量m[kg]をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l[m]となる長さである。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε0[F/m]、重力加速度をg[m/s2]とする。A及びBは同じ大きさと質量m[kg]をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l[m]となる長さである。

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問題
第三種 電気主任技術者試験 令和5年度(2023年)下期 問2(理論 問2) (訂正依頼・報告はこちら)
次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。記述中の空白箇所(ア)〜(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε0[F/m]、重力加速度をg[m/s2]とする。A及びBは同じ大きさと質量m[kg]をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l[m]となる長さである。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε0[F/m]、重力加速度をg[m/s2]とする。A及びBは同じ大きさと質量m[kg]をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l[m]となる長さである。

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この過去問の解説 (2件)
01
この問題は静電力に関する問題となり、空白箇所に適切な記述を当てはめていく問題となります。
各空白箇所は以下のようになります。
(ア)‥反発力
・問題文より導体球Aの電荷がQ[C]、導体球Bの電荷が3Q[C]とあるのでどちらも正の電荷が帯電しています。クーロンの法則により同符号の電荷間は反発力が働くので、(ア)は反発力が適切と言えます。
(イ)‥3Q2/4πε0d2
・距離d[m]で置かれた二つの点電荷QA、QBにはクーロン力F[N]が働きます。媒質の誘電率ε[F/m]とするとクーロン力Fは以下のようになります。
・クーロン力F=1/4πε0×QAQB/d2=QAQB/4πε0d2[N]‥①
上記①式に問題で与えられている条件を代入します。
・F=Q×3Q/4πε0d2=3Q2/4πε0d2
静電力Fは以上のようになります。
(ウ)‥16πε0l2mg/3Q2
まずは問題文で与えられているF2+(mg)2=T2を考えていきます。三平方の定理が成り立っているとありますが、これは導体球から見ると水平方向に静電力F[N]が働き、垂直(下)方向には重力mg[N]が加わった上、その2つの力のベクトル合成和(斜辺)が糸の張力T[N]となります。各点を結ぶと直角三角形に三平方の定理が成立します。
次にF/Tはd/2lに等しいとありますが、固定点Oからつり下げられている導体球までの距離l[m]と導体球A-B間の中心点の距離d/2[m]から固定点Oまで結ぶと直角三角形が成立します。この三角形と上記F2+(mg)2=T2の三角形は相似となり以下のような比の関係となります。
・F:T=d/2:l‥②
上記②式を変形すると以下のようになります。
・F/T=d/2l‥②´
さらに問題を読み解くとTを消去し整理するとあるのでF2+(mg)2=T2をTで割ります。
・(F/T)2+(mg/T)2=1
・(mg/T)2=1-(F/T)2
・mg/T=√1-(F/T)2‥③
上記③式に②´を代入すると以下のようになります。
・mg/T=√1-(d/2l)2‥③´
ここで問題文より、k(d/2l)3=√1-(d/2l)2の式から係数kを求めた解答が(ウ)の答えとなります。この式と上記③´右辺に着目すると右辺が共通していることが分かります。よって左辺に関しては以下のように考えることも出来ます。
・k(d/2l)3=mg/T‥④
この④式から係数kを求めます。
・k=(2l/d)3×(mg/T)‥④´
ここで再び②´の関係性から今度はTについて求めます。
・T=2lF/d‥⑤
上記⑤で求めた式を今度は④´のTに代入します。
・k=(2l/d)3×(mg/(2lF/d))=(2l/d)3×(mgd/2lF)‥⑥
さらに上記⑥式に(イ)で求めたF=3Q2/4πε0d2を代入します。
そのまま代入すると分かりにくいので、あえて一式ずつ展開していきます。
・(2l/d)3=8l3/d3
・(mgd/2lF)=mgd/2l×(4πε0d2/3Q2)=2πε0d3mg/3Q2l
最後に上記の2つの式を整理します。
K=(8l3/d3)×(2πε0d3mg/3Q2l)=16πε0l2mg/3Q2
以上のようになります。
(エ)‥増加
問題文より、AB間で電荷が移動し同電位となったとあるのでV=Q/Cの関係性より、電荷Qも同じ値になったと考えられます。なので導体球Aの電荷は2Q、導体球Bも同じ2Qとなります。
この状態で静電力F[N]を求めると次のようになります。
・F[N]=4Q2/4πε0d2
静電力は増加しているので導体球間の距離も増加します。
こちらが適切な解答となります。
(ウ)に関しては電気の知識よりも数学の知識を試されているようにも思えます。解くのに時間がかかる問題とも言えますので、試験本番ではスルーしても構わないかと思います。
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02
この問題を解くポイントは、「電荷間に働く力や運動方程式に基づく関係式を正しく整理すること」です。
それでは問題を見ていきましょう。
1.電荷間に働く静電気力(反発力)はクーロンの法則で表されます。
F = (1 ÷ (4 × π × ε0)) × ((Q1 × Q2) ÷ d²) [N]
・F:静電気力 [N]
・Q1, Q2:それぞれの電荷量 [C]
・d:電荷間の距離 [m]
・ε0:真空の誘電率(約 8.854 × 10⁻¹² [F/m])
問題では Q1 = Q、Q2 = 3Q、d = d として与えられています。
公式に代入すると次のようになります。
F = (1 ÷ (4 × π × ε0)) × ((Q × 3Q) ÷ d²)
F = (3 × Q²) ÷ (4 × π × ε0 × d²) [N]
これが反発力です。
2.糸の張力と重力の関係を考えます。
糸がなす角度に応じて力を合成すると、以下の関係式が成立します。
T² + (mg)² = F²
問題文で T = F × (d ÷ (2 × l)) と与えられています。
この T を代入し、両辺を整理すると次の式になります。
((F × d) ÷ (2 × l))² + (mg)² = F²
ここで F をクーロン力に基づく式に置き換えます。
F = (3 × Q²) ÷ (4 × π × ε0 × d²)
これを代入して整理すると、次のようになります。
(d ÷ (2 × l))² × (16 × π × ε0 × l² × mg) ÷ (3 × Q²)
3.電荷 Q と 3Q の物体が接触した場合、電荷は均等に分配されるとされています。
このため、接触後の各物体の電荷量は次のようになります。
Q' = (Q + 3Q) ÷ 2 = 2Q
これに基づいて反発力を再計算すると次のようになります。
F = (1 ÷ (4 × π × ε0)) × ((2Q)² ÷ d²)
F = (4 × Q²) ÷ (4 × π × ε0 × d²)
これが増加に関する記述に対応します。
静電気力の関係式の理解については頻出問題です。必ず押さえましょう。
一言知識
静電気力は距離の2乗に反比例します。
この性質は電場やコンデンサの設計にも重要な役割を果たしています。
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