第三種電気主任技術者（電験三種） 過去問
令和6年度（2024年）上期
問13 (理論 問13)

LC並列回路における等価抵抗の値を求める計算問題です。

この問題を解くにあたり、必要な知識は以下の通りです。

◆インピーダンス

抵抗、インダクタンス、コンダクタンスの各インピーダンスは、以下のように求めます。

Z_R＝R

Z_L＝jωL＝2πfL

Z_C＝1/(jωC)＝1/(2πfC)

◆合成インピーダンス

直列回路と並列回路の合成インピーダンスは以下のように求めます。

・直列回路の合成インピーダンス

Z₀＝Z₁＋Z₂

・並列回路の合成インピーダンス

1/Z₀＝(1/Z₁)＋(1/Z₂)

◆合成アドミタンス

アドミタンスとは電流の流れやすさを示す値で、Y[S]やY[Ω^-1]と表されます。

単位からも分かるように、アドミタンスはインピーダンスの逆数をとった値です。

直列回路と並列回路の合成アドミタンスは以下のように求めます。

・直列回路の合成インピーダンス

1/Y₀＝(1/Y₁)＋(1/Y₂)

・並列回路の合成インピーダンス

Y₀＝Y₁＋Y₂

共振回路の等価抵抗R_p［Ω］の値を表す式を求めていく問題です。

図1は静電容量C[F]と直列接続インダクタンスL[H]、内部抵抗r[Ω]の並列回路となります。それぞれのインピーダンスは次のようになります。

【図1】

・Z_C＝1/jωC[Ω]

・Z_CL＝r+jωL[Ω]

上記2つの合成インピーダンスを求めていきますが、ここでインピーダンスよりもアドミタンスで求めた方が簡易的なので今回はそちらで求めていきます。ちなみにアドミタンスYは1/Zで求める事ができます。

・Y＝1/Z_C+1/Z_CL＝jωC+(1/r+jωL)[S]

上記式の(1/r+jωL)部を有理化します。

・(1/r+jωL)＝r－jωL/(r+jωL)(r－jωL)＝r－jωL/r²+(ωL)²

さらに上記式の結果を実数部と虚数部(j)に分解します。

・r－jωL/r²+(ωL)²＝r/r²+(ωL)²－jωL/r²+(ωL)²

ここで問題文の「この直列回路は、コイルの抵抗 r［Ω］が、誘導性リアクタンスωL［Ω］に比べて十分小さいものとする」という一文に着目すると内部抵抗r[Ω]の値は小さく、近似値とした時に無視できると、捉えることができます。なので上記式は次のように置き換えます。

・r/r²+(ωL)²－jωL/r²+(ωL)²＝r/(ωL)²－j(1/ωL)

さらに静電容量のインピーダンスを加えた合成アドミタンスY₁は以下となります。

・Y₁＝r/(ωL)²＋jωC－j(1/ωL)[S]‥①

続きまして図2の回路を求めていきます。

【図2】

・Z_C＝1/jωC[Ω]

・Z_Rｐ=R_p［Ω］

・Z_L＝jωL［Ω］

アドミタンスYは以下となります。

・Y＝1/Z_C+1/Z_Rｐ+1/Z_L＝jωC+1/R_p+1/jωL

上記式の(1/jωL)の分子分母にjをかけて整理するとアドミタンスY₂は以下のようになります。

・Y₂＝1/R_p＋jωC－j(1/ωL)[S]‥②

それぞれのアドミタンスを求めることができたので、①＝②という関係性から方程式を立てます。

・Y₁＝r/(ωL)²＋jωC－j(1/ωL)

・Y₂＝1/R_p＋jωC－j(1/ωL)

・r/(ωL)²＋jωC－j(1/ωL)＝1/R_p＋jωC－j(1/ωL)

※上記式の虚数部は同じ値で打ち消し合うので、残るのは実数部のみとなります。

・r/(ωL)²＋1/R_p

上記式からR_pについて解くと次のようになります。

・R_p＝(ωL)²/r[Ω]

以上となります。