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技術士「基礎科目「解析に関するもの」」の過去問を出題

問題

f( -1 )=2、f( 0 )=2、f( 2 )=8が与えられたとき、2次の補間多項式で近似したとき、f( 1 )の値として正しいものはどれか。
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7
( 技術士 第一次試験 平成27年度(2015年) 基礎科目「解析に関するもの」 )

この過去問の解説 (2件)

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補間多項式に関する問題です。
多項式に代入して a、b、c を求めると早く解くことができます。

問題文に2次の補間多項式とあるので、
f(x) = ax² + bx + c となります。
よって、各式は以下のように表すことができます。

f(-1) = a - b + c = 2
f(0) = c = 2
f(2) = 4a + 2b + c = 8

この3式を連立させて、a、b、cを導きます。
a = 1、 b = 1、c = 2 となることから、f(x) = x² + x + 2 と表すことができます。

よって、f(1) = 1² + 1 + 2 = 4 となるので、2が正解です。
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正解は2です。
2次のラグランジュ補完多項式で近似式p(x)を求め、f(1)の値を導きます。

f(x)が点(a,f(a))、(b,f(b))、(c,f(c))を通るとき、
2次のラグランジュ補完多項式で近似すると、近似式p(x)は以下の通りです。

p(x)= f(a) × (x-b)(x-c) / (a-b)(a-c) + f(b) × (x-a)(x-c) / (b-a)(b-c)
+ f(c) × (x-a)(x-b) / (c-a)(c-b)

f(-1)=2、f(0)=2、f(2)=8が与えられているので、p(x)を求めると、
p(x)= 2 × (x-0)(x-2) / (-1-0)(-1-2) + 2 × (x-(-1))(x-2) / (0-(-1))(0-2)
+ 8 × (x-(-1))(x-0) / (2-(-1))(2-0)

p(x)を整理すると、p(x)=x^2+x+2
※xの二乗はx^2と表記しています。

p(x)にx=1を代入するとp(1)=1+1+2=4

したがって、正解はf(1)の近似値は4となるので、2が正解です。
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