技術士の過去問 平成29年度（2017年） 基礎科目「解析に関するもの」 問14

ベクトルに関する計算問題です。

AをBに平行なベクトルPとBに垂直なベクトルQに分解した式はA＝P＋Q・・・（1）になります。

Bに平行なベクトルPはB×aとなりますのでB＝（1,2,-1)とするときP＝（a,2a,-a)・・・（２）です。

A=(6,5,4)とするとき、（1）と（2)より、Q＝AーP＝（6-a,5-2a,4+a)・・・(3)

BとQは垂直なベクトルなので、B×Q＝０・・・(4)

(3)(4)よりB（1,2,-1)×Q(6-a,5-2a,4+a)=-6a+12=0

a=2となります。

これをQに代入すると、（4,1,6)となり、4が正解です。

問題文より、

ベクトルAをベクトルPとベクトルQとに分解すると、

A＝P+Qとなることとされています。

また、ベクトルPはベクトルBと平行であることから、

B＝ｋP　（ｋは一定の実数）が成り立ちます。

よって

Ｐ＝k × (1,2, -1) = (k,2k, -k)となります。

さらに、ベクトルＱを（x, y, z)と仮定すると、

Ａ(6,5,4) = Ｐ(k,2k, -k) + Ｑ(x, y, z)となり、

6 = k + x ⇔ x = 6 - k

5 = 2k + y ⇔ y = 5 – 2k

4 = -k + z ⇔ z = 4 + k

と整理できます。

そこで、

k = 1 とすると、Q = (5,3,5)

k = 2 とすると、Q = (4,1,6)

k = 3 とすると、Q = (3, -1,7)

k = 4 とすると、Q = (2, -3,8)

k = 5 とすると、Q = (1, -5,9)

となります。

よって、k=2とした場合に一致する４が正解となります。

ベルトルBとPは平行です。
B // Pのとき、ベクトルの平行条件より、
B = kP となる実数kが存在します。

よって、P = k × (1, 2, -1) = (k, 2k, -k)
Qを(x, y, z)とすると、A = P + Qより下記の式が成り立ちます。
(6, 5, 4) = (k, 2k, -k) + (x, y, z)

上記式より、
6 = k + x, 5 = 2k + y, 4 = -k + z
k = 2とすれば、Q = (4, 1, 6)となります。