技術士の過去問
平成29年度（2017年）
基礎科目「解析に関するもの」 問16

各スパンの並列合成抵抗を求め、それらの直列時の抵抗を求めることで導きます。
直列合成抵抗は R = R1 + R2 + ... 、並列合成抵抗は 1/R = 1/R1 + 1/R2 + ... で表されます。
本問題では形状に惑わされがちですが、AとBが左右に来るように横に引き伸ばして考えると分かりやすいです。

ちなみに本問題の並列合成抵抗は、
2つの並列抵抗では、1/R = 1/r + 1/r → R = r/2
3つの並列抵抗では、1/R = 1/r + 1/r + 1/r → R = r/3
4つの並列抵抗では、1/R = 1/r + 1/r + 1/r + 1/r → R = r/4
となります。

(a)
ブリッジ部分は電流が流れないので無視します。
AからAB間：2つに分岐しているため、2つの並列合成抵抗：R = r/2
AB間からB：同様に2つなので R = r/2
よって合成抵抗 Ra = r/2 + r/2 = r

(b)
Aから1/4AB間：2抵抗（r/2）
1/4AB間から1/2AB間：4抵抗（r/4）
1/2AB間から3/4AB間：4抵抗（r/4）
3/4AB間からB：2抵抗（r/2）
合成抵抗 Rb = r/2 + r/4 + r/4 + r/2 = 1.5r

(c)
Aから1/3AB間：2抵抗（r/2）
1/3AB間から2/3AB間：3抵抗（r/3）
2/3AB間からB：2抵抗（r/2）
合成抵抗 Rc = r/2 + r/3 + r/2 = 1.333...r

よって、Ra < Rc < Rb となります。

電気回路と抵抗に関する基礎問題となります。技術士試験ではよく問われます。この形式では、まずそれぞれの合成抵抗を求めて、その後それを小さい順に並べていきます。ここの部分でも間違えないようにしましょう。

直列合成抵抗はそれぞれの抵抗の和で表され、並列合成抵抗は、それぞれの抵抗の逆数の和が並列合成抵抗全体の逆数となる、という法則をしっかり覚えておきましょう。

長さLの導線の抵抗をrとおいて考えると、

(a) では、真ん中にはホイートストンブリッジの法則により電流は流れません。

よって、2つの抵抗からなる並列合成抵抗が2つ直列で並んでいるのと同じなので、Ra=r/2+r/2=rとなります。

(b)では、4つの抵抗からなる並列合成抵抗が2つ、2つの抵抗からなる並列合成抵抗が2つ、全部で4つの抵抗が直列で並んでいるのと同じなので、

Rb=r/4+r/4+r/2+r/2=r/2+r=3r/2=1.5rとなります。

(c)では、3つの抵抗からなる並列合成抵抗が1つ、2つの抵抗からなる並列合成抵抗が2つ、全部で３つの抵抗が直列で並んでいるのと同じなので、

Rc=r/3+r/2+r/2=4r/3=1.333・・・rとなります。

以上より、Ra＜Rc＜Rbとなり、正解選択肢は2.となります。

各区間（導線）の並列合成抵抗を求め、

それらを直列合成抵抗として求めることで導きます。

なお、

直列合成抵抗は R = R₁ + R₂ + ...

並列合成抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + ...

で表されます。

本問の並列合成抵抗は、

すべて同じ抵抗の導線を接続しているため、

2つの並列抵抗では、1/R = 1/r + 1/r → R = r/2

3つの並列抵抗では、1/R = 1/r + 1/r + 1/r → R = r/3

4つの並列抵抗では、1/R = 1/r + 1/r + 1/r + 1/r → R = r/4

となります。

（ａ）回路

ブリッジ部分には電流が流れないので無視します。

AからAB間：

2つに分岐しているため、2つの並列合成抵抗：R = r/2

AB間からB：

同様に2つなので R = r/2

よって、合成抵抗は、Ra = r/2 + r/2 = r

（ｂ）回路

AからBまで４つの区間があります。

Aから1/4AB間：2抵抗（r/2）

1/4AB間から1/2AB間：4抵抗（r/4）

1/2AB間から3/4AB間：4抵抗（r/4）

3/4AB間からB：2抵抗（r/2）

よって、合成抵抗は、 Rb = r/2 + r/4 + r/4 + r/2 = 1.5r

（ｃ）回路

AからBまで３つの区間があります。

Aから1/3AB間：2抵抗（r/2）

1/3AB間から2/3AB間：3抵抗（r/3）

2/3AB間からB：2抵抗（r/2）

よって、合成抵抗は、 Rc = r/2 + r/3 + r/2 = 1.333...r

以上のことから、Ra ＜ Rc ＜ Rb となります。

よって、２が正解となります。