技術士の過去問
平成29年度(2017年)
基礎科目「解析に関するもの」 問17

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問題

技術士 第一次試験 平成29年度(2017年) 基礎科目「解析に関するもの」 問17 (訂正依頼・報告はこちら)

両端にヒンジを有する2つの棒部材ACとBCがあり、点Cにおいて鉛直下向きの荷重Pを受けている。棒部材ACの長さはLである。棒部材ACとBCの断面積はそれぞれA1とA2であり、縦弾性係数( ヤング係数 )はともにEである。棒部材ACとBCに生じる部材軸方向の伸びをそれぞれσ1とσ2とするとき、その比(σ1/σ2)として、最も適切なものはどれか。なお、棒部材の伸びは微小とみなしてよい。
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この過去問の解説 (3件)

01

フックの法則より、応力 = ヤング率 × ひずみ となります。

応力 = 荷重 / 断面積、ひずみ = 伸び / 元の長さ、より

伸び =(荷重×元の長さ)/(断面積×ヤング率)・・・ 式1

が成り立ちます。

<部材ACの伸び>

部材ACに働く力は、Pcos60° = 1/2P

よって式1より、σ1 = (1/2P × L) / (A1 × E) ・・・・・式2

<部材BCの伸び>

部材BCに働く力は、Pcos30° = √3/2P

部材BCの長さは、三角関数よりL/√3

よって式1より、σ2 = (√3/2P × L/√3) / (A2 × E) ・・・式3

式2,3より、σ1/σ2 = A2/A1 となります。

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02

フックの法則より、

応力 = ヤング率 × ひずみ …①

となります。

また、

応力 = 荷重 / 断面積 … ②

ひずみ = 伸び / 元の長さ … ③

であることから、

①に②及び③を代入して、伸びを求めると

荷重 / 断面積 = ヤング率 × 伸び / 元の長さ

⇔ヤング率 × 伸び=( 荷重 / 断面積 )× 元の長さ

⇔伸び =(荷重×元の長さ)/(断面積×ヤング率)・・・ 式1

が成り立ちます。

<部材ACの伸び>

問題文より、部材ACに働く力(荷重)は、Pcos60° = 1/2Pとなり、

式1より、

σ1 = (1/2P × L) / (A1 × E) ・・・・・式2

となります。

<部材BCの伸び>

問題文より、部材BCに働く力(荷重)は、Pcos30° = √3/2Pとなり、

部材BCの長さは、直角三角形ABCの長さの比から

AC:BC = √3 : 1

⇔BC = AC / √3

⇔BC = L / √3

となります。

よって式1より、

σ2 = (√3/2P × L/√3) / (A2 × E) ・・・式3

となります。

式2,3より、

σ12 = A2/A1

となります。

よって、正解は3となります。

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03

荷重と荷重を受けた材料の伸びの問題になります。このような問題も、技術士試験ではよく出題されます。条件を丁寧に読み取って解答していきましょう。

ここでは、まず、フックの法則を用います。

応力=縦弾性係数(ヤング係数、ヤング率)x ひずみ でしたね。

また、

応力=荷重 / 棒部材の断面積

ひずみ=棒部材の伸び /棒部材の元の長さ

という関係もなりたちますので、

縦弾性係数x ひずみ=荷重 /棒部材の断面積 となり、

縦弾性係数x(棒部材の伸び / 棒部材の元の長さ)=荷重 / 棒部材の断面積

となって、

棒部材の伸び=(棒部材の元の長さ)x荷重/(棒部材の断面積x縦弾性係数)

と表すことができます。

問題文より、棒部材ACにかかる荷重は、Pcos60° = 1/2Pとなり、

棒部材ACの伸びσ1

σ1 = (1/2P x L) / (A1 x E) となります。

また、棒部材BCにかかる荷重は、Pcos30° = √3/2Pとなり、

棒部材BCの長さは、直角三角形ABCの長さの比をとると、

AC:BC = √3 : 1ですから、

BC = AC / √3、すなわち、BC = L / √3

となります。

これより、棒部材BCの伸びσ2

σ2 = (√3/2P x L/√3) / (A2 x E) =(1/2P xL) / (A2 x E)となります。

以上より、σ1/σ2 = A2/A1となり、正解選択肢は3. となります。

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