技術士の過去問
令和2年度（2020年）
基礎科目「解析に関するもの」 問13

発散は3次元直行座標系に存在する微小立方体のX平面、Y平面、Z平面を通過する流体の変化を表しています。

発散が正の値であれば流入に対し流出の量が増えており、負の値であれば、流出に対し流入の量が増えていると判断できます。

ベクトルVは、Vx、Vy、Vzの3つで構成されており、発散divVはある座標点におけるVxをxで微分、Vyをｙで微分、Ｖzをzで微分したものをそれぞれ足したものです。

ベクトルＶ＝（ｘ、x^2y+yz^2,z^3)の発散Ｖは

ｘをｘで微分＝1・・・（1）
x^2y+yz^2をyで微分＝x^2+z^2・・・（2)
z^3をzで微分＝3z^2・・・（3）

したがって、点（1,3,2)における発散divVは
（1）（2）（3）のx,zにそれぞれ1,2を代入し（1）＋（2）＋（3）を計算すると
（1）＋（2）＋（3）＝1＋（1^2+2^2)+3×2^2=1+5+12=18になります。
2が正解です。

数値解析についての基礎を問う問題です。問題文の前提を丁寧に読み取りながら解いていきましょう。

まず、与えられている条件を整理してみましょう。

ベクトルVの発散divVは、Vx, Vy, Vzをそれぞれx, y, zで微分したものをそれぞれ足したものだ、と定義されていますので、

まずは、Vx=xをxで微分して 1

Vy=x²y+yz²をyで微分して、x²+z²

Vz=z³をzで微分して3z2となります。

したがって、divV=1+x²+z²+3z²＝1+x²+4z² と表すことができます。

ここで、(x,y,z)=(1,3,2)を代入して、

divV=1+1²+4x2²=1+1+4x4=18となるので、正解選択肢は2. となります。

正解は２です。

最近ではdiv,grad, rot の定義は与えられているので単純にそれぞれの値で偏微分してあげればよいだけです。また、div Vの定義式にベクトルが含まれていないので、答えはスカラー（1つの数値）になるということがわかれば、正解は２か３の2択に絞られます。

∂Vx/∂x（ベクトルVのうちｘ成分Vxの値をxで微分したもの。微分するときy,zは定数扱いする）

=∂x/∂x=1

以下同様に

∂Vy/∂y=∂(x²y+yz²)/(∂y)=x²+z²

∂Vz/∂z=∂(z3)/∂z=3z²

ここで点(1,3,2)なのでそれぞれ代入して足します。

divV=1+ 1+4 +12 =18

よって正解は２です。