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技術士の過去問 令和2年度(2020年) 基礎科目「解析に関するもの」 問14

問題

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関数f(x,y)=x2+2xy+3y2の(1,1)における
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   1 .
6
   2 .
(4,8)
   3 .
12
   4 .
4√5
   5 .
√2
( 技術士 第一次試験 令和2年度(2020年) 基礎科目「解析に関するもの」 問14 )
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この過去問の解説 (3件)

22

数値解析について基盤的な知識を問う問題です。問題文をよく読んで、落ち着いて解いていきましょう。

まず、与えられている条件を整理してみましょう。

関数f(x,y)のgradfは、(∂f/∂x, ∂f/∂y)と示されていますので、

f(x,y)をそれぞれxとyに関して偏微分して

gradf=(2x+2y,2x+6y)と表すことができます。

よって、(1,1)におけるgradfは(2+2,2+6)より(4,8)と表すことができます。

最急勾配の大きさは、ベクトル(4,8)の大きさ、

すなわち、縦4,横8の直角三角形の斜辺の長さとなりますので、

√(42+82)=√(16+64)=√80=4√5 です。

したがって、正解選択肢は4. となります。

付箋メモを残すことが出来ます。
4

正解は4です。grad はベクトル値ですが求めるのは ||grad f||なので選択肢はスカラーになりますので注意しましょう。(うっかり2を選ばないように)

さて、grad の定義式が与えられているのでまずは単純に偏微分を求めます。

∂f/∂x=2x+2y

∂f/∂y=2x+6y

(1,1)を代入すれば

grad f = (4,8)

||grad f||=√(42+82)=√80=4√5

となります。

2
勾配gradf=(∂f/∂x,∂f/∂y)より、
∂f/∂x=(x^2+2xy+3y^2)/∂x=2x+2y-(1)
∂f/∂y=(x^2+2xy+3y^2)/∂y=2x+6y -(2)
になります。

(1.1)におけるgradfは式(1)、式(2)より
(4.8)になります。

最急勾配の大きさは(4,8)のベクトルの大きさになりますので、
||gradf||=√4^2+8^2=4√5
したがって、4が正解です。

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