技術士 過去問
令和4年度（2022年）
問8 (基礎科目「情報・論理に関するもの」 問2)

1.条件を整理します。

条件1:A,B,C,Dのそれぞれの要素数は11。
→各集合に含まれる要素の総数は同じ。

条件2:任意の2つの集合の積集合の要素数はすべて7。
→どの2つの集合を選んでも共通する要素は7個。

条件3:任意の3つの集合の積集合の要素数はすべて4。
→ どの3つの集合を選んでも共通する要素は4個。

条件4:A∪B∪C∪D（4つの集合の和集合）の要素数は16。
→全体に含まれる要素の総数は16個。

2. 積集合（全てに共通する要素）の要素数を計算します。

4つの集合の積集合の要素数をxとすると、条件を整理して計算します。

(1)和集合の公式を利用

4つの集合の和集合の要素数∣A∪B∪C∪D∣を次の公式で表します。

∣A∪B∪C∪D∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣D∣−∑∣A∩B∣+∑∣A∩B∩C∣−∣A∩B∩C∩D∣

ここで、各項を条件に従って代入します。

・∣A∣+∣B∣+∣C∣+∣D∣=11+11+11+11=44（条件1より）

・∑∣A∩B∣=6×7=42（任意の2つの積集合の要素数が7なので、6組ある）

・∑∣A∩B∩C∣=4×4=16（任意の3つの積集合の要素数が4なので、4組ある）

したがって公式は次のようになります。

16=44−42+16−x

(2)xを求める

式を整理します。

16=44−42+16−x

16=18−x

x=2

すべての積集合の要素数は 2 です。