中小企業診断士の過去問
令和2年度（2020年）
運営管理 問12

「線形計画法」に関する出題です。
「線形計画法」とは、2つ以上の製品を生産できる前提で、企業は何をどれだけ生産すれば総利益が最大化するかを検討する際に用いる手法で「リニア・プログラミング（LP）」とも呼ばれます。
単位利益（限界利益）が大きい製品の生産量を増やすことで総利益は効率的に拡大することが出来るため、その値が大きい製品の生産量から検討を行うことが基本原則となります。
本問の場合は選択肢に各機械の使用可能工数変更の条件がありますので、それぞれのパターンで計算を行い、総利益が最大化するものを探していきます。

また、計算を行う上での共通の条件として製品Xの生産数量をX,製品Yの生産数量をYとし、製品Xの単位利益をα、製品Yの単位利益をβとします。

選択肢１．について
機械Aの使用可能工数を現状から4引き上げて6とした場合を検討します。
機械A：X≦6
機械B：2Y≦8 → Y≦4
機械C：4X+2Y≦12 → Y≦-2X+6
上記の方程式を図に落とし込んでそれぞれが交わる点ごとの総利益を計算します。
①(X,Y) = (0,4) = 4β = 4 × 5 = 20
②(X,Y) = (1,4) = α + 4β = 1 × 3 + 4 × 5 = 23
③(X,Y) = (3,0) = 3α = 3 × 3 = 9
よって選択肢１，においては②のケース（製品X=1/製品Y=4)のときが最大利益が得られる組み合わせであり、総利益は23となります。

選択肢２．について
機械Bの使用可能工数を現状から4引き上げて12とした場合を検討します。
機械A：X≦2
機械B：2Y≦12 → Y≦6
機械C：4X+2Y≦12 → Y≦-2X+6
①(X,Y) = (0,6) = 6β = 6 × 5 = 30
②(X,Y) = (2,2) = 2α + 2β = 2 × 3 + 2 × 5 = 16
③(X,Y) = (3,0) = 2α = 2 × 3 = 6
よって選択肢２，においては①のケース（製品X=0/製品Y=6)のときが最大利益が得られる組み合わせであり、総利益は30となります。

選択肢３．について
機械Cの使用可能工数を現状から4引き上げて16とした場合を検討します。
機械A：X≦2
機械B：2Y≦8 → Y≦4
機械C：4X+2Y≦16 → Y≦-2X+8
上記の方程式を図に落とし込んでそれぞれが交わる点ごとの総利益を計算します。
①(X,Y) = (0,4) = 4β = 4 × 5 = 20
②(X,Y) = (2,4) = 2α + 4β = 2 × 3 + 4 × 5 = 26
③(X,Y) = (2,0) = 2α = 2 × 3 = 6
よって選択肢３，においては②のケース（製品X=2/製品Y=4)のときが最大利益が得られる組み合わせであり、総利益は26となります。

選択肢４．について
機械Bの使用可能工数を現状から2引き上げて10、機械Cの使用可能工数を現状から2引き上げて14とした場合を検討します。
機械A：X≦2
機械B：2Y≦10 → Y≦5
機械C：4X+2Y≦14 → Y≦-2X+7
上記の方程式を図に落とし込んでそれぞれが交わる点ごとの総利益を計算します。
①(X,Y) = (0,5) = 5β = 5 × 5 = 25
②(X,Y) = (1,5) = α + 5β = 1 × 3 + 5 × 5 = 28
③(X,Y) = (2,3) = 2α + 3β = 2 × 3 + 3 × 5 = 21
④(X,Y) = (2,0) = 2α = 2 × 3 = 6
よって選択肢４，においては②のケース（製品X=1/製品Y=5)のときが最大利益が得られる組み合わせであり、総利益は28となります。

以上より、選択肢２．の方策を採用した場合が、最も総利益が高くなることがわかります。

よって、選択肢２．が正答となります。

「線形計画法」に関する出題です。

総利益をk=3X＋5Y、つまり Y=-0.6X ＋k として下のグラフに追記し、kが最大になるようなXとYの組み合わせを選ぶと考えるとイメージしやすくなると思います。

1 ：機械Aの使用可能工数を現状から4引き上げて6とする。

→Aの直線が X≦6となります。

2 ：機械Bの使用可能工数を現状から4引き上げて12とする。

→Bの直線が Y≦6となります。

3 ：機械Cの使用可能工数を現状から4引き上げて16とする。

→Cの直線が 4X+2Y≦16となります。

4：機械Bの使用可能工数を現状から2引き上げて10、機械Cの使用可能工数を現状から2引き上げて14とする。

→Bの直線が Y≦5となり、Cの直線が 4X+2Y≦14となります。

それぞれのパターンでkが最大となるような(X,Y)を求めると、

選択肢２の(0,6)で最大値k=30となります。

よって2が正解となります。

線形計画法を用いて、総利益が最も高くなる方策を問う問題です。

非常に時間がかかる問題であることから余った時間で対応することになりますが、図からは単位利益が高い製品Yを多く生産した方が良いということは読み取ることができます。

また、総利益が最も高くなる計算式としては、P（利益＝Profit）＝3X＋5Yと求めることができます。