技術士の過去問
平成28年度（2016年）
基礎科目「解析に関するもの」 問13

定積分に関する問題です。

与式の一次関数 f(x) ＝ ax ＋ b より、f(x)dx = 1/2ax² + bx となります。
よって、与式の定積分 ∫f(x)dx = 2b となります。
不適切なものを選択するので、各選択肢で解が 2b とならないものが正解です。

１．適切です
2f(0) = 2b
よって適切です。

２．適切です
f(-1) + f(1) = (-a + b) + (a + b) = 2b
よって適切です。

３．不適切です
1/4f(-1) + f(0) + 1/4f(1)
= 1/4(-a + b) + b + 1/4(a + b) = 2/3b
よって不適切です。

４．適切です
1/2f(-1) + f(0) + 1/2f(1)
= 1/2(-a + b) + b + 1/2(a + b) = 2b
よって適切です。

５．適切です
1/3f(-1) + 4/3f(0) + 1/3f(1)
= 1/3(-a + b) + 4/3b + 1/3(a + b) = 2b
よって適切です。

以上より、３が正解です。

正解は３です。

まずは関数と定積分が与えられているので計算してみましょう

∫(ax+b)dx =[ax²/2 + bx]_-1¹

a/2+b - a/2 +b =2b

^{あとは積分前の関数を代入していけば求まります。}

^１正しい

^2f(0)=2b

2正しい

f(-1)+f(+1)=-ax+b+ax+b=2b

３正しくない

1/4 f(-1) + f(0) + 1/4 f(+1)=a/4 + b/4 + b - a/4 + b/4 = 3/2 b

４正しい

1/2 f(-1) + f(0) + 1/2 f(+1)=a/2 + b/2 + b -a/2 + b/2 = 2b

5正しい

1/3 f(-1) + 4/3 f(0) + 1/3 f(+1) = a/3+b/3+4b/3-a/3+b/3=6b/3=2b

よって正解は３です。

定積分に関する問題です。

f(x)=ax+b の積分は1/2ax^2+bxになります。

1から-1の定積分を計算すると

a/2+b-(a/2-b)=2bになります。

それぞれの選択肢を計算して比較すると

①2f(0)=2b

②f(-1)+f(1)=-a+b+a+b=2b

③1/4f(-1)+f(0)+1/4f(1)=1/4(-a+b)+b+1/4(a+b)=3/2b

④1/2f(-1)+f(0)+1/2f(1)=1/2(-a+b)+b+1/2(a+b)=2b

⑤1/3f(-1)+4/3f(0)+1/3f(1)=1/3(-a+b)+4/3b+1/3(a+b)=2b

以上より、定積分の計算2bと一致しない③が正解になります。

正解は３です。
定積分の解を近似計算で算出し、不適切な選択肢がどれかを調べる問題です。

・長方形近似による解の算出
f(x)を-1≦x＜0、0≦x≦1の2区間に分け解を求めます。
-1≦x＜0の区間を、横1、高さf(0)の長方形の面積f(0)で近似します。
0≦x≦1の区間を、横1、高さf(0)の長方形の面積f(0)で近似します。
-1≦x＜0の区間では近似値が実測値より大きくなりますが、
0≦x≦1の区間では実測値より小さくなるので相殺され、
結果として実測値と等しくなります。このときの、長方形近似の値は、
f(0)+f(0)=2f(0)となります。

・台形近似による解の算出
①-1≦x≦1の区間による台形近似
台形の面積は1/2×(上底-下底)×高さで求められます。
f(x)を-1≦x≦1の区間で台形近似で定積分の解を求めると、
1/2×( f(-1)-f(1) )×2=f(-1)+f(1)
一次関数では台形近似と実測値が等しくなります。このときの、台形近似の値は、
f(-1)+f(1)です。

②-1≦x＜0、0≦x≦1の2区間で台形近似
-1≦x＜0の区間で台形近似すると、
1/2×( f(-1)+f(0) )×1= 1/2 × (f(-1)+f(0))
0≦x≦1の区間で台形近似すると、
1/2×( f(0)+f(1) )×1= 1/2　× (f(0)+f(1))
-1≦x≦1区間での定積分の解は、2区間の面積の合計なので、
1/2 × (f(-1)+f(0)) + 1/2　× (f(0)+f(1))
=1/2f(-1) + f(0) + 1/2f(1)

・シンプソンの公式による解の算出
-1≦x≦1の区間でシンプソンの公式に代入すると、
(1-(-1) / 6 (f(-1) + 4f((-1+1)/2) + f(1))
=1/3 (f(-1) + 4f(0) + f(1)) = 1/3 f(-1) + 4/3 f(0) + 1/3 f(1)

上記の通り、３つの近似法で４つの解を導き、
各選択肢を確認すると、選択肢３が適さないことが分かります。
したがって、３が正解です。