技術士の過去問
平成28年度（2016年）
基礎科目「解析に関するもの」 問14

ヤコビアン行列に関する問題です。

ヤコビアンJは下記で表されます。
J = Dx = ∂f(x,y) / ∂f(u,v)
　= (∂x/∂u) × (∂y/∂v) − (∂x/∂v) × (∂y/∂u)　･･･①

ここで、各偏微分は、
∂x/∂u = 1
∂y/∂v = u
∂x/∂v = 1
∂y/∂u = v
となることから、①式に当てはめれば、
J = 1 × u - 1 × v = u - v

よって、３が正解です。

正解は３です。

ヤコビアンを求めるため、x,yをそれぞれ、u及びvで偏微分すると、
次のようになります。

∂x/∂u = 1、∂x/∂v = 1
∂y/∂u = v、∂y/∂v = u

ヤコビアンは、(∂x/∂u)×(∂y/∂v) - (∂x/∂v)×(∂y/∂u)= u-v
となるので、３が正解です。

正解は３です。

ヤコビアンというのは、

f(x,y) があって、xとyもそれぞれuとvの関数で、つまりx(u,v),y(u,v)のとき、

z=f(x,y)=f(x(u,v),y(u,v))と表せるとします。この時、zをu,vで偏微分したいとき

∂z/∂u = ∂z/∂x × ∂x/∂u + ∂z/∂y × ∂y/∂u

∂z/∂v= ∂z/∂x × ∂x/∂v + ∂z/∂y × ∂y/∂v

のようになります。これを行列で表すと

[∂z/∂u] =[ ∂x/∂u ∂y/∂u][∂z/∂x]

[∂z/∂v] =[ ∂x/∂v ∂y/∂v][∂z/∂y]

となります。真ん中の部分がヤコビアン行列です。これの行列式を求めると

|J|=∂x/∂u ∂y/∂v - ∂y/∂u ∂x/∂v

x=u+v

y=uv なので

|J|=1×u - v×1=u-v

となります。

ヤコビアンに関する問題です。

x,yをu,vに変換する場合のヤコビアンは

J＝∂x/∂u×∂y/∂v-∂x/∂v×∂y/∂uで求めます。

ここで

∂x/∂u＝1

∂y/∂v＝u

∂x/∂v＝1

∂y/∂u＝v

になりますので

J＝1×u-1×v=u-v

になり、③が正解です。