技術士の過去問
平成28年度（2016年）
基礎科目「解析に関するもの」 問15

行ベクトルに関する問題です。

N₁～N₄を分解し、問題文中の和の形式で表すと以下のように表すことができます。

N₁ = 1/4(1 - ξ - η + ξη)　･･･①
N₂ = 1/4(1 + ξ - η - ξη)　･･･②
N₃ = 1/4(1 + ξ + η + ξη)　･･･③
N₄ = 1/4(1 - ξ + η - ξη)　･･･④

問題文より、和の形式で表すと
[N₁ N₂ N₃ N₄] = a₀ + ξa₁ + ηa₂ + ξηa₃
とあり、a₀ = 1/4[1 1 1 1] は①～④式の1項目を表していることが分かります。
同様に、a₁は2項目、a₂は3項目、a₃は4項目を表していますので、
a₁ = [-1 1 1 -1]、a₂ = [-1 -1 1 1]、a₃ = [1 -1 1 -1] となります。

よって、２が正解です。

正解は２です。

N1〜N4の式を展開すると以下のようになります。
N1=1/4(1-ξ-η+ξη)、N2=1/4(1+ξ-η-ξη)、N3=1/4(1+ξ+η+ξη)、N4=1/4(1-ξ+η+-ξη)

したがって
[N1 N2 N3 N4] =1/4[1-ξ-η+ξη 1+ξ-η-ξη 1+ξ+η+ξη 1-ξ+η+-ξη] …①

a1、a2、a3は定数a〜lを用いると、次のように表せます。
a1=1/4[a b c d]、a2=1/4[e f g h]、a3=1/4[i j k l]

[N1 N2 N3 N4] = a0 + ξa1 + ηa2 + ξηa3　なので、
[N1 N2 N3 N4] = 1/4{[1 1 1 1] + ξ[a b c d] + η[e f g h] + ξη[i j k l]}
= 1/4[1+aξ+eη+iξη 1+bξ+fη+jξη 1+cξ+gη+kξη 1+dξ+hη+lξη]…②

①、②を比較し、定数a〜lを求めると
a=-1、b=1、c=1、d=-1
e=-1、f=-1、g=1、h=1
i=1、j=-1、k=1、l=-1

よって、a1、a2、a3は次のようになります。
a1=1/4[-1 1 1 -1]、a2=1/4[-1 -1 1 1]、a3=1/4[1 -1 1 -1]

以上から、a1、a2、a3として正しい組み合わせは２なので、
２が正解です。

答えは２です。

ギリシャ文字で書かれてて一見複雑そうですが、ξ とηの2変数しかないので、見づらいという方はxとyに置き換えてしまいましょう。

まずはN₁～N₄を展開してみます。

N₁=1/4(1-ξ-η+ξη)

N₂=1/4(1+ξ-η-ξη)

N₃=1/4(1+ξ+η+ξη)

N₄=1/4(1-ξ+η-ξη)　　　①

a0（係数なし）、a1(ξ)、a2(η)、a3(ξη)でまとめますと

a0=1/4[1 1 1 1]

a1=1/4[-1 1 1 -1]

a2=1/4[-1 -1 1 1]

a3=1/4[1 -1 -1 -1]

となります。①の各式の各項をちょうど縦に読んでみるとわかりやすいかもしれません。

行ベクトルに関する問題です。

N1～N4の定義式を因数分解すると以下のようになります。

N1=1/4(1-ξ-η+ξη)、N2=1/4(1+ξ-η-ξη)、N3=1/4(1+ξ+η+ξη)、N4=1/4(1-ξ+η+-ξη)

ここから、N1～N4を足した式にするのですが、

a0は係数なし

a1の係数はξ

a2の係数はη

a3の係数はξη

でまとめられていますので、それぞれの係数でまとめると

[N1,N2,N3,N4]=

1/4-1/4ξ-1/4η+1/4ξη+1/4+1/4ξ-1/4η-1/4ξη+1/4+1/4ξ+1/4η+1/4ξη+1/4-1/4ξ+1/4η-1/4ξη

=1/4(1+1+1+1)+1/4ξ(-1+1+1-1)+1/4η(-1-1+1+1)+ξη/4(1-1+1-1)

a0は1/4[1 1 1 1]なので、第1項に該当することがわかります。

したがって、

a1=1/4[-1 1 1 -1]

a2=1/4[-1 -1 1 1]

a3=1/4[1 -1 1 -1]

となり、2が正解となります。