技術士の過去問
平成28年度（2016年）
基礎科目「解析に関するもの」 問16

重積分に関する問題です。

与えられた式を、順番に積分し解を求めます。

まず｛　｝の中の範囲から計算します。

f(x,y) = x + y とあることから、
f(x,y)dx = 1/2x² + xy となります。
a = 2のときなので、x が "0から2-y" の範囲で積分すればよいので、
{1/2(2-y)² + (2-y)×y} - 0 = -1/2y² + 2

続いて外側について計算します。

内側の計算結果より、f(y) = -1/2y² + 2 なので、
f(y)dy = -1/6y³ + 2yとなります。
積分範囲はyが "0から2" なので、
(-1/6×2³ + 2 × 2) - 0 = 8/3

よって、５が正解です。

正解は５です。
重積分を解く問題です。

まずf(x,y)を区間0≦x≦a-yの範囲でxについて積分し、
その結果を区間0≦y≦aの範囲でyについて積分します。
解説ではaのb乗をa^bで表現します。

f(x,y)を区間0≦x≦a-yの範囲でxについて積分すると結果は次のようになります。
1/2(2-y)^2 + y(2-y) = -1/2y^2 + 2

この結果を区間0≦y≦aの範囲でyについて積分した結果は次の通りです。
-1/6×2^3 + 2×2 = -8/6 + 4 = 8/3

したがって、５が正解です。

正解は５です。

まずは｛　｝内の積分を解いてみます。a=2を代入し、yは定数として扱います。

∫₀^2-y (x+y) dx=[(x²/2 + xy]₀^2-y

=(2-y)²/2 + (2-y)y

=(4-4y+y²)/2 +2y-y²

=2-2y+y²/2+2y-y²

=2-y²/2

｛　　｝内が上式と分かったので今度は外側の積分をします。a=2を代入します。

∫₀²(2-y²/2)dy=[2y-y³/6]₀²

=4-8/6

=8/3

変数をかえて２回定積分をすればOKです。