技術士の過去問
平成30年度(2018年)
基礎科目「解析に関するもの」 問16

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問題

技術士 第一次試験 平成30年度(2018年) 基礎科目「解析に関するもの」 問16 (訂正依頼・報告はこちら)

下図は、ニュートン・ラフソン法(ニュートン法)を用いて非線形方程式f(x)= 0の近似解を得るためのフローチャートを示している。図中の( ア )及び( イ )に入れる処理の組合せとして、最も適切なものはどれか。
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この過去問の解説 (4件)

01

ニュートン・ラフソン法のアルゴリズムに関する穴埋め問題です。

ニュートン・ラフソン法とは、非線形方程式 f(x) = 0 を数値的に解くための
方法であり、繰り返し計算により、より近い値を導くことができます。

ニュートン・ラフソン法の手順がフローチャートで示されています。

ニュートン・ラフソン法のフローは以下の通りです。

① xの初期値と、収束判定のためのしきい値(ε)を設定します。
② n = 0からスタートします。
③ f(xn)、f'(xn)を計算します。
④ f(xn) / f’(xn)を⊿xとします。
⑤ ⊿xがしきい値より小さければ終了してxを出力、
  大きければ xn-⊿x を xn+1、n = n+1 として③に戻ります。

よって、⊿x←f(xn) / f’(xn)、|⊿x|<εとなるので、
2が正解です。

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02

ニュートン・ラフソン法のアルゴリズムに関する穴埋め問題です。

ニュートン・ラフソン法とは、関数f(x)がx軸と交わる点xnの近似値を反復計算により得る方法です。

ニュートン・ラフソン法のアルゴリズムは以下のようになります。

(1)目的の解にできるだけ近い初期値x0を与える

(2)座標( x0, f ( x0 ))における f(x) の接線を描く。

(3)接線とx軸との交点を得る。このときのx座標を x1 とする。

(4⁠)⁠ x1の値を新しい初期値 x0 として,(⁠2)にもどる。

(5)(⁠2)から(4)のループは実行可能な限り繰り返し, x の値を更新する。繰り返し回数が多いほど真の x の値に近くなる。

設問では、収束判定のしきい値εを設定し、xnのときのf(xn)とf’(xn)の比率がε以下と判定したところでことで、f(x)がx軸と交わるxnの値を算出するアルゴリズムです。

f(xn)とf'(xn)の比率、すなわち|Δx|はf(xn)/f'(xn)で表します。

(ア)xnのときのf(xn)とf’(xn)の比率がε以下になるかどうか判定するための準備としてΔxにf(xn)/f'(xn)を代入します。

(イ)|Δx|がしきい値εを下回るかどうか条件判定を行います。しきい値以上であればxnからΔxを引いた値を次のxn(すなわちxn+1)として、f(xn+1)とf'(xn+1)を計算し同じアルゴリズムでしきい値εとの条件判定を行います。

以上より、(ア)はΔx←f(xn)/f'(xn)、(イ)は|Δx|<εとなり、2が正解になります。

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03

ニュートン・ラフソン法のアルゴリズムに関する穴埋め問題です。

ニュートン・ラフソン法(ニュートン法)は非線形方程式 f(x)= 0 の近似解を反復計算により得る方法です。

ニュートン・ラフソン法の反復手順を以下に示します。

1.x の初期値 x0 と収束判定のしきい値 ε を設定します。

2.反復回数 n = 0 とします。

3.非線形方程式 f(xn) 、微分 f'(xn)を計算します。

4.⊿x を f(xn) / f’(xn)とします。(ア)⊿x←f(xn) / f’(xn)

5.⊿xがしきい値より小さければ (|⊿x|<ε) 終了してn回目のxを出力、

  大きければ xn-⊿x を xn+1、n = n+1 として3.に戻ります。((イ)|⊿x|<ε)

よって、(ア)⊿x←f(xn) / f’(xn)、(イ)|⊿x|<εとなるので、正解は2です。

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04

ニュートン・ラフソン法のアルゴリズムに関する穴埋め問題です。


ニュートン・ラフソン法のフローは以下の通りです。

1.変数 xの初期値と、収束判定のしきい値(ε)を設定します。
2. n = 0からスタートします。
3. f(xn)、f'(xn)を計算します。
4. ⊿xをf(xn) / f’(xn)とします。((ア)⊿x←f(xn) / f’(xn))
5. ⊿xがしきい値より小さければ終了してn回目のxを出力、
  大きければ xn-⊿x を xn+1、n = n+1 として3.に戻ります。((イ)|⊿x|<ε)

よって、(ア)⊿x←f(xn) / f’(xn)、(イ)|⊿x|<εとなるので、
正解は2です。

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