技術士の過去問 平成30年度(2018年) 基礎科目「解析に関するもの」 問15
この過去問の解説 (3件)
逆行列を求めるには、①掃き出し法、②余因子を求める方法、があります。
行列数が大きくなってくると掃き出し法の方が有利ですが、3×3くらいであればどちらでもいいと思います。
本問題は掃き出し法でスムーズに解けるので、掃き出し法を用います。
掃き出し法:元の行列をA、単位行列をIとしたとき、[ A I ]の行列について行基本変形を行い、[ I B ]に変形します。
このBがAの逆行列となります。
<ステップ1>単位行列を右に並べる
1 0 0 1 0 0
a 1 0 0 1 0
b c 1 0 0 1
<ステップ2>1行目の-a倍を2行目に加える、1行目の-b倍を3行目に加える
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -a 1 0
0 c 1 -b 0 1
<ステップ3>2行目の-c倍を3行目に加える
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -a 1 0
0 0 1 ac-b -c 1
よってAの逆行列は、
1 0 0
-a 1 0
ac-b -c 1
となりますので、2が正解です。
逆行列を求める問題です。
3 × 3行列の逆行列を求めるには、「掃き出し法」を使って求めるのが簡単です。
[掃き出し法]
元の行列をA、単位行列をIとしたとき、[ A I ]の行列について行基本変形を行い、
[ I B ]に変形することで、Bを求めます。このBがAの逆行列となります。
<ステップ1>
元の行列の右に単位行列を書き、3×6行列を作ります。
1 0 0 1 0 0
a 1 0 0 1 0
b c 1 0 0 1
<ステップ2>
1行目の-a倍を2行目に加えて、1行目の-b倍を3行目に加えます。
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -a 1 0
0 c 1 -b 0 1
<ステップ3>
2行目の-c倍を3行目に加えます
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -a 1 0
0 0 1 ac-b -c 1
そうすると左の3 × 3行列が単位行列となるため、
右の3 × 3行列がAの逆行列となります。
これより、
1 0 0
-a 1 0
ac-b -c 1
がAの逆行列となります。
よって、2が正解です。
逆行列を求める問題です。
逆行列を求める方法は「掃き出し法」と「余因子を求める方法」とがありますが、本問題では「掃き出し法」を用いて逆行列を求めていきます。
「掃き出し法」とは元の行列をA、単位行列をIとしたとき、[ A I ]の行列について行基本変形を行い、[ I B ]に変形します。
このBがAの逆行列となります。
<ステップ1>
元の行列の右に単位行列を書き、3×6行列を作ります。
1 0 0 1 0 0
a 1 0 0 1 0
b c 1 0 0 1
<ステップ2>
1行目の-a倍を2行目に加えます。
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -a 1 0
b c 1 0 0 1
<ステップ3>
1行目の-b倍を3行目に加えます
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -a 1 0
0 c 1 -b 0 1
<ステップ4>
2行目の-c倍を3行目に加えます
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -a 1 0
0 0 1 ac-b -c 1
そうすると左の3 × 3行列が単位行列となるため、
右の3 × 3行列がAの逆行列となります。
これより、
1 0 0
-a 1 0
ac-b -c 1
がAの逆行列となります。
よって、正解は2です。
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