問題
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座標( x,y )と変数 r, s の間には、次の関係があるとする。
1 .
2 .
3 .
4 .
5 .
( 技術士 第一次試験 令和元年度(2019年) 基礎科目「解析に関するもの」 問14 )
ヤコビ行列に関する問題です。
関数z=f(x,y)=f{x(r,s),y(r,s)}を偏微分すると
δz/δr=δz/δx×δx/δr+δz/δy×δy/δr
δz/δs=δz/δx×δx/δs+δz/δy×δy/δs
になります。
これを行列で表すと
|δz/δr| |δx/δr δy/δr| |δz/δx|
|δz/δr|=|δx/δs δy/δs||δz/δy|
になります。
|δx/δr δy/δr|
|δx/δs δy/δs|
をヤコビ行列[J]の行列式として計算すると
δx/δr×δy/δs-δy/δr×δx/δs
となります。
したがって、5が正解となります。
<正解>5
[解説]
ヤコビ行列に関する問題です。
関数z = f(x,y)は、
z = f{g(r,s),h(r,s)}
となります。
これを偏微分すると
∂z/∂r = ∂z/∂x×∂x/∂r + ∂z/∂y×∂y/∂r
∂z/∂s = ∂z/∂x×∂x/∂s + ∂z/∂y×∂y/∂s
となり、行列で表すと
|∂z/∂r| |∂x/∂r ∂y/∂r| |∂z/∂x|
| |=| | | |
|∂z/∂r| |∂x/∂s ∂y/∂s| |∂z/∂y|
となります。
一般的に行列
|a b|
|c d|
の行列式は、ad-bcとなるため、
このヤコビ行列[J]
|∂x/∂r ∂y/∂r|
|∂x/∂s ∂y/∂s|
を行列式として表すと
∂x/∂r×∂y/∂s-∂y/∂r×∂x/∂s
となります。
よって、5が正解となります。