技術士の過去問
令和元年度（2019年）
基礎科目「解析に関するもの」 問14

関数Zを偏微分すると
　dx/dr = dz/dx*dx/dr + dz/dy*dy/dr
　dx/ds = dz/dx*dx/ds + dz/dy*dy/ds
となります。

これを与式に沿って行列で表すと
　[dz/dr] 　[dx/dr dy/dr] [dz/dx]
　[dz/ds] = [dx/ds dy/ds] [dz/dy]

行列 [a b]
　　 [c d] の行列式は、ad - bc となるため
ヤコビアンJの行列式は
　dx/dr*dy/ds - dy/dr*dx/ds
となります。

ヤコビ行列に関する問題です。

関数z=f(x,y)=f{x(r,s),y(r,s)}を偏微分すると

δz/δr=δz/δx×δx/δr+δz/δy×δy/δr
δz/δs=δz/δx×δx/δs+δz/δy×δy/δs

になります。

これを行列で表すと

｜δz/δr｜ ｜δx/δr　δy/δr｜ ｜δz/δx｜
｜δz/δr｜＝｜δx/δs　δy/δs｜｜δz/δy｜

になります。

｜δx/δr　δy/δr｜
｜δx/δs　δy/δs｜

をヤコビ行列[J]の行列式として計算すると

δx/δr×δy/δs-δy/δr×δx/δs

となります。

したがって、5が正解となります。

＜正解＞５

［解説］

ヤコビ行列に関する問題です。

関数z = f(x,y)は、

z = f{g(r,s),h(r,s)}

となります。

これを偏微分すると

∂z/∂r = ∂z/∂x×∂x/∂r + ∂z/∂y×∂y/∂r

∂z/∂s = ∂z/∂x×∂x/∂s + ∂z/∂y×∂y/∂s

となり、行列で表すと

｜∂z/∂r｜　｜∂x/∂r　∂y/∂r｜　｜∂z/∂x｜

｜　　 ｜＝｜　 　　　　｜　｜　　 ｜

｜∂z/∂r｜　｜∂x/∂s　∂y/∂s｜　｜∂z/∂y｜

となります。

一般的に行列

｜ａ　ｂ｜

｜ｃ　ｄ｜

の行列式は、ａｄ－ｂｃとなるため、

このヤコビ行列[J]

｜∂x/∂r　∂y/∂r｜

｜∂x/∂s　∂y/∂s｜

を行列式として表すと

∂x/∂r×∂y/∂s-∂y/∂r×∂x/∂s

となります。

よって、５が正解となります。