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技術士の過去問 令和元年度(2019年) 基礎科目「解析に関するもの」 問14

問題

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座標( x,y )と変数 r, s の間には、次の関係があるとする。
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( 技術士 第一次試験 令和元年度(2019年) 基礎科目「解析に関するもの」 問14 )
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この過去問の解説 (3件)

4

ヤコビ行列に関する問題です。

関数z=f(x,y)=f{x(r,s),y(r,s)}を偏微分すると

δz/δr=δz/δx×δx/δr+δz/δy×δy/δr
δz/δs=δz/δx×δx/δs+δz/δy×δy/δs

になります。

これを行列で表すと

|δz/δr| |δx/δr δy/δr| |δz/δx|
|δz/δr|=|δx/δs δy/δs||δz/δy|

になります。

|δx/δr δy/δr|
|δx/δs δy/δs|

をヤコビ行列[J]の行列式として計算すると

δx/δr×δy/δs-δy/δr×δx/δs

となります。


したがって、5が正解となります。

付箋メモを残すことが出来ます。
4
関数Zを偏微分すると
 dx/dr = dz/dx*dx/dr + dz/dy*dy/dr
 dx/ds = dz/dx*dx/ds + dz/dy*dy/ds
となります。

これを与式に沿って行列で表すと
 [dz/dr]  [dx/dr dy/dr] [dz/dx]
 [dz/ds] = [dx/ds dy/ds] [dz/dy]

行列 [a b]
   [c d] の行列式は、ad - bc となるため
ヤコビアンJの行列式は
 dx/dr*dy/ds - dy/dr*dx/ds
となります。

2

<正解>5

[解説]

ヤコビ行列に関する問題です。

関数z = f(x,y)は、

z = f{g(r,s),h(r,s)}

となります。

これを偏微分すると

∂z/∂r = ∂z/∂x×∂x/∂r + ∂z/∂y×∂y/∂r

∂z/∂s = ∂z/∂x×∂x/∂s + ∂z/∂y×∂y/∂s

となり、行列で表すと

|∂z/∂r| |∂x/∂r ∂y/∂r| |∂z/∂x|

|   |=|      | |   |

|∂z/∂r| |∂x/∂s ∂y/∂s| |∂z/∂y|

となります。

一般的に行列

|a b|

|c d|

の行列式は、ad-bcとなるため、

このヤコビ行列[J]

|∂x/∂r ∂y/∂r|

|∂x/∂s ∂y/∂s|

を行列式として表すと

∂x/∂r×∂y/∂s-∂y/∂r×∂x/∂s

となります。

よって、5が正解となります。

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