技術士の過去問
令和元年度（2019年）
基礎科目「解析に関するもの」 問16
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問題
技術士 第一次試験 令和元年度（2019年） 基礎科目「解析に関するもの」 問16 （訂正依頼・報告はこちら）
ヤング率E、ポアソン比vの等方性線形弾性体がある。直交座標系において、この弾性体に働く垂直応力の3成分を σxx、σyy、σzz とし、それによって生じる垂直ひずみの3成分を εxx、εyy、εzz とする。いかなる組合せの垂直応力が働いてもこの弾性体の体積が変化しないとすると、この弾性体のポアソン比vとして、最も適切な値はどれか。
ただし、ひずみは微小であり、体積変化を表す体積ひずみ ε は、3成分の垂直ひずみの和（ εxx + εyy + εzz ）として与えられるものとする。また、例えば垂直応力 σxx によって生じる垂直ひずみは、εxx = σxx/E、εyy = εzz = -vσxx/E で与えられるものとする。
ただし、ひずみは微小であり、体積変化を表す体積ひずみ ε は、3成分の垂直ひずみの和（ εxx + εyy + εzz ）として与えられるものとする。また、例えば垂直応力 σxx によって生じる垂直ひずみは、εxx = σxx/E、εyy = εzz = -vσxx/E で与えられるものとする。
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この過去問の解説 （3件）
01
等方性線形弾性体のポアソン比に関する問題です。
弾性体の体積が変化しない条件としているため、3成分の垂直ひずみの和は0
になりますので
εxx + εyy + εzz＝0となります。
この式に
εxx = σxx/E
εyy = -vσxx/E
εzz = -vσxx/E
をそれぞれ代入すると
σxx/E-vσxx/E-vσxx/E＝0
（1-2v)σxx/E=0
1-2v=0
v=1/2になります。
したがって、4が正解となります。
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02
＜正解＞４
［解説］
等方性線形弾性体のポアソン比に関する問題です。
弾性体の体積が変化しないため、
３成分の垂直ひずみの和は０となり、
εxx + εyy + εzz ＝0
が成立します
この式に
εxx = σxx/E
εyy = -vσxx/E
εzz = -vσxx/E
をそれぞれ代入すると
σxx/E-vσxx/E-vσxx/E＝0
⇔（1-2v）σxx/E=0
⇔1-2v=0
⇔v=1/2
となります。
したがって、4が正解となります。
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03
例えを参考にすると
εxx = {σxx - v(σyy + σzz)}/E
εyy = {σyy - v(σzz + σxx)}/E
εzz = {σzz - v(σxx + σyy)}/E
となります。
体積が変化しないという条件より、体積ひずみ = 0 と考えられます。
よって、
εxx + εyy + εzz = 0
{σxx - v(σyy + σzz)}/E + {σyy - v(σzz + σxx)}/E + {σzz - v(σxx + σyy)}/E = 0
{(σxx + σyy + σzz) - 2v(σxx + σyy + σzz)}/ E = 0
(σxx + σyy + σzz) = 2v(σxx + σyy + σzz)
1 = 2v
v = 1/2
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