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技術士の過去問 令和2年度(2020年) 基礎科目「設計・計画に関するもの」 問4

問題

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ある工場で原料A、Bを用いて、製品1、2を生産し販売している。下表に示すように製品1を1[kg]生産するために原料A、Bはそれぞれ3[kg]、1[kg]必要で、製品2を1[kg]生産するためには原料A、Bをそれぞれ2[kg]、3[kg]必要とする。原料A、Bの使用量については、1日当たりの上限があり、それぞれ24[kg]、15[kg]である。

(1)製品1、2の1[kg]当たりの販売利益が、各々2[百万円/kg]、3[百万円/kg]の時、1日当たりの全体の利益z[百万円]が最大となるように製品1並びに製品2の1日当たりの生産量x1[kg]、x2[kg]を決定する。なお、x1≧0、x2≧0とする。

(2)次に、製品1の販売利益がΔc[百万円/kg]だけ変化する、すなわち(2+Δc)[百万円/kg]となる場合を想定し、zを最大にする製品1、2の生産量が、(1)で決定した製品1、2の生産量と同一であるΔc[百万円/kg]の範囲を求める。

1日当たりの生産量x1[kg]及びx2[kg]の値と、Δc[百万円/kg]の範囲の組合せとして、最も適切なものはどれか。
問題文の画像
   1 .
x1=0,  x2=5,  −1≦Δc≦5/2
   2 .
x1=6,  x2=3,  Δc≦−1, 5/2≦Δc
   3 .
x1=6,  x2=3,  −1≦Δc≦1
   4 .
x1=0,  x2=5,  Δc≦−1, 5/2≦Δc
   5 .
x1=6,  x2=3,  −1≦Δc≦5/2
( 技術士 第一次試験 令和2年度(2020年) 基礎科目「設計・計画に関するもの」 問4 )
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この過去問の解説 (3件)

33

生産計画に関する問題も、技術士試験ではよく問われます。問題文とそこに記された条件が複雑になることが多いので、一つずつ丁寧に読み解いていきましょう。

まず、原料Aと原料Bは使用上限が決まっています。また、製品1と製品2を1kg作る場合の原料の使用量も決まっています。ここで、x1とx2により

x1 x 3 + x2 x 2 =24・・・①

x1 x 1 + x2 x 3 =15・・・②が成り立ちます。

これを、x1, x2についての連立方程式と考えて解くと、

x1=6, x2=3となります。

つまり、1日の生産量x1=6, x2=3となります。

この時の利益は、2x6+3x3=12+9=21[百万円]と表わせます。

続いて、製品1の販売利益がΔC[百万円/kg]変化する際の利益は、

(2+ΔC)x x1 + 3 x x2と表せます。

ここで、上記の①②式より、

製品2の個数(x2)が0個の場合、製品1の製造個数(x1)の上限は8個となり、

製品1の個数(x1)が0個の場合、製品2の製造個数(x2)の上限は5個となります。

上で決定した、製品1と製品2の数が6個と3個として、

販売利益が変化するのは製品1だけですので、

まず、x2が0個の場合、上で決定した利益と同じになるときの製品1の利益は

8x(2+ΔC)=6x(2+ΔC)+3×3 よりΔC=5/2

x1が0個の場合、上で決定した利益と同じになる時の製品1の利益は

5x3=6x(2+ΔC)+3×3 よりΔC=-1

以上より、上で決定した組み合わせの方が、利益が最も高くなる場合のΔCの範囲は、

-1≦ΔC≦5/2となります。

以上を正しく並べると、正解選択肢は5となります。

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16
(1)
製品1の個数をX、製品2の個数をYとした場合
原料Aの使用上限は24個ですから、
3X+2Y≦24・・・①が成り立ちます
一方原料Bの使用上限は15個ですから
X+3Y≦15・・・②になります。

①を3X+2Y=24・・・①’
②をX+3Y=15・・・②'
の一次関数とすると


①'と②'の連立方程式から
X=6、Y=3になります。

すなわち、製品1を6個、製品2を3個作ると1日当たりの
利益zは2X+3Y・・・③で表せますので
X=6、Y=3を代入して
z=2×6+3×3=21(百万円)になります。

(2)
製品1の販売利益がΔC変化する場合の利益zは
(2+ΔC)X+3Y・・・④で表します。

①'式と②'式を変形すると
①:Y=-3/2X+12・・・⑤
②:Y=-1/3X+5・・・⑥

式⑤より、製品2(Y)が0個の場合は、製品1(X)は上限8個まで製造できます。(⑦)
式⑥より、製品1(X)が0個の場合は、製品2(Y)は上限5個まで製造できます。(⑧)


製品1と製品2はそれぞれ(1)で決定した6個と3個のままで(⑨)
販売利益が変化するのは製品1だけですので、
⑦と⑨の利益が同じになるときの製品1の利益は
8×(2+ΔC)=6×(2+ΔC)+3×3 よりΔC=5/2


⑧と⑨の利益が同じになるときの製品2の利益は
5×3=6×(2+ΔC)+3×3 よりΔC=-1

製品1が6個、製品2が3個の組み合わせのほうが
利益が最も高くなるときのΔCの範囲は-1≦ΔC≦5/2となります。

したがって、x1=6,  x2=3,  −1≦Δc≦5/2
5が正解です。

6

<正解>5

[解説]

生産計画に関する計算問題です。

(1)より

まず、製品1の1日当たりの生産量をX1kg、

製品2の1日当たりの生産個数をX2kgとした場合、

原料Aの1日の使用量の上限は、

24kgであることから、

3kg×X1kg+2kg×X2kg≦24kg

3X1+2X2≦24

となります。

また、原料Bの1日の使用量の上限は、

15kgであることから、

1kg×X1+3kg×X2≦15kg

X1+3X2≦15

となります。

いずれの原料も使用量上限まで使用することで

生産量を最大することができるため、

3X1+2X2=24・・・①

X1+3X2=15・・・②

として、X1とX2を求めると

X1=6

X2=3

となります。

なお、製品1と製品2の1日当たりの全体の利益は、

z = 2× X1 + 3 × X2

と表すことができます。

(2)より

製品1の販売利益がΔC[百万円/kg]変化する際の利益は、

z = (2+ΔC)× X1 + 3 × X2

と表すことができます。

ここで、(1)の①②式より、

製品2の生産量(X2)が0kgの場合、

製品1の生産量(X1)の上限は8kgとなり、

また、製品1の生産量(X1)が0kgの場合、

製品2の生産量(X2)の上限は5kgとなります。

ここで、製品1と製品2の生産量が6kgと3kgとした場合、

販売利益が変化するのは製品1のみであるため、

まず、X2が0kgの場合、

(1)で決定した利益と同じになるときの製品1の利益は、

8× (2+ΔC) =6×(2+ΔC)+3×3 より

ΔC=5/2

となります。

次にX1が0kgの場合、

(1)で決定した利益と同じになる時の製品1の利益は、

5×3≦6×(2+ΔC)+3×3 より

ΔC=-1

となります。

以上より、

上で決定した組み合わせの方が、

利益が最も高くなる場合のΔCの範囲は、

-1≦ΔC≦5/2となります。

よって、正解は、5となります。

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