技術士の過去問
令和2年度（2020年）
基礎科目「設計・計画に関するもの」 問6

システムの信頼性を構成図から読み取る問題です。技術士としての基本技能になりますので、試験でも頻出の問題です。

まず、システム要素が全て直列に並ぶ時のシステム全体の信頼度は、各要素の信頼度の総積となりますので、この場合は、第1要素・・・第n要素が並列に並んだシステムの信頼度をR1、このシステム全体の信頼度をRとすると、

R= R1x0.95となります。

システム全体の信頼度Rが0.94となるためには、R1＝0.94/0.95≒0.989となります。

つづいて、R1は、各要素が並列に並んだシステムの信頼度ですので、各要素の信頼度をRa,Rb,Rc,・・・Rnとすると、

R1=1-{(1-Ra)(1-Rb)(1-Rc)・・・(1-Rn)}と表すことができます。ここで、Ra=Rb=Rc=・・・＝Rn=0.7ですから、

R1＝1-(1-0.7)ⁿ=1-0.3ⁿと表すことができます。

続いて、R1が0.989を超えるように、nに要素数を順次入れて計算していきます。

要素数2の場合　1-0.3²=0.91

要素数3の場合　1-0.3³=0.973

要素数4の場合　1-0.3⁴=0.9919

以上より、R1が0.989を超える、つまり、システム全体の信頼度が0.94以上になるために必要なnの値は4となり、正解選択肢は3.となります。

２つ以上の要素が並列に接続し1つのモデルと直列に接続した信頼度の問題です。
要素が直列に並ぶ時の信頼度は、
それぞれの要素AとBの信頼度をRA,RBとした場合、
システム全体の信頼度Rは
R=RA✖️RBで示します。
一方、要素が並列に並ぶ時の信頼度は
R=1-(1-RA)(1-RB)で示します。

今回の問題では
R={1-(1-第1要素の信頼度）（1-第2要素の信頼度）(1-第ｎ要素の信頼度）}✖️0.95になります
各要素の信頼度は同じ0.7になりますので
R={1-(1-0.3)^n}✖️0.95となります。
システムの信頼度が0.94以上になるためには
{1-(1-0.3)^n}をPとおくと
R=0.95P
Rは最低0.94である必要があるため、0.94とすると
0.94=0.95P
P=0.94÷0.95=0.989となります。

Pが0.989を超えるnの値を求めます。
各要素数における、Pの値は
第2要素までの場合：1-(1-0.7）^2=0.91
第3要素までの場合：1-(1-0.7）^3=0.973
第4要素までの場合：1-(1-0.7）^4=0.992

したがって、システムの信頼度が0.94以上になるために必要なnの値は、4になります。

＜正解＞３

［解説］

システムの信頼性の計算問題です。

１）要素が直列に並ぶ時の信頼度

要素Ａと要素Ｂの信頼度をそれぞれＲ_Ａ、Ｒ_Ｂとした場合、

システム全体の信頼度Ｒは、

Ｒ＝Ｒ_Ａ×Ｒ_Ｂ

と表すことができます。

２）要素が並列に並ぶ時の信頼度

要素Ａと要素Ｂの信頼度をそれぞれＲ_Ａ、Ｒ_Ｂとした場合、

システム全体の信頼度Ｒは、

Ｒ＝１-（１-Ｒ_Ａ）（１-Ｒ_Ｂ）

と表すことができます。

これらのことから、問題文に与えられた

ｎ個の要素が並列に接続され、

これらと信頼度0.95の１個の要素が直列に接続されている場合には、

そのシステムの信頼度Ｒは、

Ｒ＝{1-(1-第1要素の信頼度）（1-第2要素の信頼度）…(1-第ｎ要素の信頼度）}×0.95

となります。

第１要素から第ｎ要素の信頼度は、0.7であることから、

Ｒ＝{1-(1-0.7)^ｎ}×0.95となります。

システムの信頼度が0.94以上になるためには、

{1-(1-0.7)^ｎ}＝Ｐ

とすると、

Ｒ＝0.95Ｐ

となり、Ｒは、0.94以上となることから、

Ｒ＝0.94とすると

0.94＝0.95Ｐ

Ｐ＝0.94÷0.95＝0.989となります。

そこで、Ｐが0.989を超えるnの値を求めます。

要素数を増やしていったときにおける、Ｐの値は、それぞれ、

第２要素までの場合　1-(1-0.7）²＝0.91

第３要素までの場合：1-(1-0.7）³＝0.973

第４要素までの場合：1-(1-0.7）⁴＝0.992

となり、

システムの信頼度が0.94以上になるために必要なnの値は、

４になります。

よって、正解は３となります。