有限要素法の基本的な考え方を問う問題です。前提条件をよく読んで、丁寧に取り組んでいきましょう。
まず、内心とは、内心円の中心のことです。内心円とは、三角形のそれぞれの内角の二等分線が交わる点を中心とした円のことで、内心円はその外周が三角形の三辺と接することになります。
△ABCの三辺の長さの比は3：4：5とされていますので、△ABCは直角三角形であることがわかります。たとえば、辺ABの長さを3cm、辺BCの長さを4cm、辺ACの長さを5cmと仮定すると、角ABCが直角となり、△ABCの面積つまりSは3x4/2=6cm2となります。
[内心の面積座標]
内心Pから△ABCの各辺に引いた垂直な線の長さ(＝内心円の直径)をrとすると、この線で分けたSA、SB、SCの面積は
SA＝4ｘr /2 =2r
SB＝5 x r /2=5/2r
SC＝3 x r /2=3/2r
になります。
SA＋SB＋SC＝△ABCの面積すなわちSになるため、
SA＋SB＋SC＝2r+5/2r+3/2r=6rcm2になり、rの長さは1cmになります。
改めてSA、SB、SCを計算すると
SA＝4ｘ1/2 =2
SB＝5 x 1/2=5/2
SC＝3 x 1/2=3/2 となりますので、これをそれぞれ6で割って、
内心の面積座標（SA/S、SB/S、SC/S）は
（1/3、5/12、1/4）となります。
続いて、外心とは外心円の中心のことであり、外心円とは三角形の三辺の垂直二等分線が交わる点を中心とした円のことです。外心円は円の外周が三角形の三つの頂点と接することになります。
[外心の面積座標]
直角三角形△ABCの外接円の直径は△ABCの斜辺と等しい、という法則があることから、外心は辺ACの中点に位置することになります。
よって、△PCAは存在しないことになり、その面積SBは0cm2になります。
△PBCと△PABは△ABCの辺ACの中心から角ABCに引いた線で分かれています。
底辺の長さが同じ（辺AC/2）で、高さが同じなので、それぞれの面積であるSAとSCの値は等しくなります。
△ABCの面積は6cm2なので、SAとSCはそれぞれ3cm2になります。
よって、外心の面積座標（SA/S、SB/S、SC/S）は（1/2、0、1/2）となります。
以上より、選択肢4.が正しい組み合わせとなります。
正解は４です。
まず、この三角形は各辺が３，４，５なので直角三角形です。そして面積はS=３×４÷２＝６です。
すると角Bが直角になるはずですが、問題の図は明らかにそうなっておらず、長さ４の辺のほうが５よりも長く見えます。
従って、以下を考えるためには作図をし直してから解いたほうが良いです。
内心Pは内接円の中心であって、この半径をrとすると
(3r+4r+5r)/2=6
となり、r=1であることがわかります。
SA=△PBC=4×1÷2=2
SB=△PCA=5×1÷2=5/2
SC=△PAB=3×1÷2=3/2
それぞれS(=6)で割ると
(SA/S,SB/S,SC/S)=(1/3,5/12,1/4)
外心Pは外接円の中心に当たります。これは長さ５の辺の中心にあることがわかります。（直角三角形の長辺は直径であり中心が円の中心だから）
するとSBは存在しない（面積０）、SAとSCは等しく二等分線で区切られた三角形であるといえます。面積はもちろんそれぞれ2/6=3です。
従ってそれぞれSで割ると
(SA/S,SB/S,SC/S)=(3/6,0,3/6)=(1/2,0,1/2)
よって４が答えとなります。
