技術士の過去問
令和3年度(2021年)
基礎科目「解析に関するもの」 問14

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問題

技術士 第一次試験 令和3年度(2021年) 基礎科目「解析に関するもの」 問14 (訂正依頼・報告はこちら)

3次関数 f(x)=ax3 + bx2+ cx + d があり、a, b, c, d は任意の実数とする。
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この過去問の解説 (2件)

01

正解は2です

まず定積分が与えられているので、これを計算します。

[3ax4/4+bx3/3+cx2/2+dx]1-1

3a/4+b/3+c/2+d-3a/4+b/3-c/2+d

=2b/3+2d

要するに多項式を-1~+1で定積分したら偶数乗の項目は消えて、奇数乗の項目は倍になるということですね。

あとは元の関数に選択肢にある値を入れていったらどうなるかということなのですが、

分母に3があるので√3が含まれている2以外は成り立たなそうです。

この段階で答えは出てしまいましたが一応全部計算してみます。

1:

元の関数f(x)のxに0を入れたらdだけが残ります。なので2dになります。2b/3がないので誤り

2:

元の関数f(x)に-√(1/3)を代入すると

-3a/(√3)3+b/3-c/√3+d

同じく+√(1/3)を代入すると

+3a/(√3)3+b/3-c/√3+d

加算すると

2b/3+2d

となり一致します。またf(-x)+f(x)=2(bx2+d)であることがわかります。

上記の通り奇数乗の項目は打ち消しあうので 2(bx2+d)|x=1だけ計算します。

これは2b+2dになるので違うということがわかります。

4:

同じく2(bx2+d)|x=√(3/5)を計算すると6b/5+2dになります。

2で割っているので3/5b+dです。

真ん中の8f(0)/9はf(0)=dは先ほど求めたのでそのまま8d/9です。

3/5b+17d/9なのでこれも違います。

5:

f(-1)+f(1)は3で求めた通り2b+2dなので2で割るとb+dです。

これにf(0)=dを足すとb+2dになりますので、これも違います。

やはり全部計算するのは大変なので、定積分した段階で回答に気付かないと時間がかかりそうです。

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02

積分に関する問題です。

 

[3ax4/4+bx3/3+cx2/2+dx]1-1

3a/4+b/3+c/2+d-3a/4+b/3-c/2+d

=2b/3+2d

 

偶数次数は相殺され、奇数次数が倍になります。

 

2f(0)=2d

f(-√1/3)+f(√1/3)=2b/3+2d

f(-1)+f(1)=2b+2d

f(-√(3/5))/2+f(0)+8f(0)/8+f(√(3/5))=3/5b+17d/9

f(-1)/2+f(0)+f(1)/2=b+2d

選択肢2. 解答選択肢の画像

正しいです。

まとめ

偶数次数が相殺されることに気づけば、省力化できます。

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