正解は２です
まず定積分が与えられているので、これを計算します。
[3ax4/4+bx3/3+cx2/2+dx]1-1
3a/4+b/3+c/2+d-3a/4+b/3-c/2+d
=2b/3+2d
要するに多項式を-1～+1で定積分したら偶数乗の項目は消えて、奇数乗の項目は倍になるということですね。
あとは元の関数に選択肢にある値を入れていったらどうなるかということなのですが、
分母に３があるので√３が含まれている２以外は成り立たなそうです。
この段階で答えは出てしまいましたが一応全部計算してみます。
１：
元の関数f(x)のxに0を入れたらｄだけが残ります。なので2dになります。2b/3がないので誤り
２：
元の関数f(x)に-√(1/3)を代入すると
-3a/(√3)3+b/3-c/√3+d
同じく+√(1/3)を代入すると
+3a/(√3)3+b/3-c/√3+d
加算すると
2b/3+2d
となり一致します。またf(-x)+f(x)=2(bx2+d)であることがわかります。
３
上記の通り奇数乗の項目は打ち消しあうので 2(bx2+d)|x=1だけ計算します。
これは2b+2dになるので違うということがわかります。
４：
同じく2(bx2+d)|x=√(3/5)を計算すると6b/5+2dになります。
2で割っているので3/5b+dです。
真ん中の8f(0)/9はf(0)=dは先ほど求めたのでそのまま8d/9です。
3/5b+17d/9なのでこれも違います。
５：
f(-1)+f(1)は３で求めた通り2b+2dなので2で割るとb+dです。
これにf(0)=dを足すとb+2dになりますので、これも違います。
やはり全部計算するのは大変なので、定積分した段階で回答に気付かないと時間がかかりそうです。
