技術士の過去問 令和3年度（2021年） 基礎科目「解析に関するもの」 問18

正解は５です。

重心の座標を(Gx,Gy)とすると

重心の定義よりGx=∫xdS/∫dS となります。

分母は四分円の面積になりますので

A=（π/4)a²

となります。（単純に半径×半径×πの1/4です）

分子の式は

x+dx （四分円のｘ軸上の点と微小dxにずれた点）を考え、

それと円弧までの距離（つまり円の式）は√(a²-x²)であり幅がdxなので

∫xds=∫₀^a x√(a²-x²)dx

となります。これをとく際に置換積分を利用し

a²-x²=t とおくと

dt/dx=-2x

x=0のときt=a2, x=aのときt=0

となります。

従って

∫_a2⁰(-1/2)√tdt

=∫₀^a2 1/2 t^1/2dt

=[1/3 t^3/2]₀^a2

=1/3 a³

よってＧｘ＝a³/3 × (1/A)

＝a³/3 × 4/(a²π)

=4a/3π

になります。Gyも同じになるので５の(4a/3π,4a/3π）が正解となります。

（がんばって書いたものの見づらいと思いますので「四分円　重心」などで検索してみたほうが良いと思います）

重心の求め方はいくつかありますが、いずれも上記のような積分を解かなければならず、試験時間を考えると相当厳しいです。

①解いたことがあって答えを知っている

②半円が(0,4a/3π)なのでそれをもとに解ける

のどちらかでない限りこの問題はスルーしたほうがよさそうです。