技術士の過去問
令和3年度(2021年)
基礎科目「解析に関するもの」 問18

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問題

技術士 第一次試験 令和3年度(2021年) 基礎科目「解析に関するもの」 問18 (訂正依頼・報告はこちら)

下図に示すように、厚さが一定で半径a、面密度pの一様な四分円の板がある。重心の座標として、最も適切なものはどれか。
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この過去問の解説 (2件)

01

正解は5です。

重心の座標を(Gx,Gy)とすると

重心の定義よりGx=∫xdS/∫dS となります。

分母は四分円の面積になりますので

A=(π/4)a2

となります。(単純に半径×半径×πの1/4です)

分子の式は

x+dx (四分円のx軸上の点と微小dxにずれた点)を考え、

それと円弧までの距離(つまり円の式)は√(a2-x2)であり幅がdxなので

∫xds=∫0a x√(a2-x2)dx

となります。これをとく際に置換積分を利用し

a2-x2=t とおくと

dt/dx=-2x

x=0のときt=a2, x=aのときt=0

となります。

従って

a20(-1/2)√tdt

=∫0a2 1/2 t1/2dt

=[1/3 t3/2]0a2

=1/3 a3

よってGx=a3/3 × (1/A)

=a3/3 × 4/(a2π)

=4a/3π

になります。Gyも同じになるので5の(4a/3π,4a/3π)が正解となります。

(がんばって書いたものの見づらいと思いますので「四分円 重心」などで検索してみたほうが良いと思います)

重心の求め方はいくつかありますが、いずれも上記のような積分を解かなければならず、試験時間を考えると相当厳しいです。

①解いたことがあって答えを知っている

②半円が(0,4a/3π)なのでそれをもとに解ける

のどちらかでない限りこの問題はスルーしたほうがよさそうです。

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02

重心に関する問題です。

選択肢5. 解答選択肢の画像

適切です。

 

重心の座標を(Gx,Gy)とすると

重心の定義よりGx=∫xdS/∫dS

 

重心の x 座標は
∫[x:0→a] x √(a2-x2) dx / ∫[x:0→a] √(a2-x2) dx 

x=asinθとおくと、dx=acosθdθ x:0→aのとき、θ:0→π/4

 

 =a3∮[θ:0→π/4] sinθcos2θ / (πa2 / 4)  (分母は単純に4分円の面積です)
 = 1/3 a3 / (πa2 / 4)
 = 4a / 3π

y 座標も全く同じ計算で 4a / 3π です。

まとめ

本番では計算している時間がないので、覚えてください。

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